迪恩數

迪恩數（D，De或Dn）是流體力學中的無因次量，會用在彎管及彎曲渠道的流體研究中，得名自1920年代研究彎曲流場的英國科學家。

物理背景
黏性流體沿直管道流動時，管中央的流速較快，近管壁的流速較慢，為泊肅葉流。轉彎時，受離心力影響，中央較快的流體被推到外側（附圖的右側），管壁附近的流體相應被擠壓返回內側（附圖的左側），產生兩個反向的渦旋。此種次要的效應與原先向前的流動互相疊加，所以流體粒子實際的軌跡是螺旋線。此種渦流稱為迪恩渦（）。

定義
迪恩數的定義如下：

: \mathit{De} = \frac{\rho V\! d}{\mu} \left( \frac{d/2}{R} \right)^{1/2}

• \rho 為流體密度
• \mu 為流體的粘度
• V 是軸向的速度值
• d 為彎管直徑（若截面不是圓形，可以用等效直徑，請參考雷諾數）
• R 是彎管的曲率半徑

迪恩數和雷諾數（基於在直徑d的管內流速為V的流體）及曲率平方根的乘積成正比。

迪恩方程
迪恩數出現在迪恩方程中，這是針對牛顿流体在環面管中的軸向均勻流，曲率效應較小 (a/r \ll 1) 時針對纳维-斯托克斯方程的近似。

此處使用正交座標系 (x,y,z) ，其單位向量和彎管的中線對齊，\hat{\boldsymbol{z}}延著中線方向，\hat{\boldsymbol{x}}和中線平面垂直，而\hat{\boldsymbol{y}}為副法線．若軸向流是因為壓力梯度G而產生，其軸向速度u_z 除以 U=Ga^2/\mu，跨流線的速度u_x, u_y 除以 (a/R)^{1/2} U，跨流線的壓力除以\rho a U^2/L，而長度除以曲率半徑。

利用上述的無因次變數及座標，迪恩方程式可以用下式表示

:D \left( \frac{\mathrm{D} u_x}{\mathrm{D} t} + u_z^2 \right) = -D \frac{\partial p}{\partial x} + \nabla^2 u_x
:D \frac{\mathrm{D} u_y}{\mathrm{D} t} = -D\frac{\partial p}{\partial y} + \nabla^2 u_y
:D \frac{\mathrm{D} u_z}{\mathrm{D} t} = 1 + \nabla^2 u_z
:\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0

其中

:\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t} = u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y \frac{\partial}{\partial y}為實質導數。

迪恩數D是上述系統中唯一的參數，也包括了曲率效應的第一階效應在內，若要考慮更高階的效應，需要引入其他的參數。

若曲率的影響不大時（D比較小），迪恩方程可以用迪恩數的级数展开來表示. 此處在 D_c \approx 956（Dennis & Ng 1982）時都還是穩定的。若D值較大，有許多不同的解，其中有許多是不穩定的。

參考資料
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