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和與積的問題

Wikipedia · 2026-08-01 维基百科 👁 0 阅读

和與積的問題（）是一道邏輯謎題，又因為其題面上似乎缺乏足夠的解題信息而得名不可能的謎題（）。該謎題由於1969年首次發表，而別名「不可能的謎題」則由馬丁·加德納所提出。儘管略顯困難，此謎題仍然是可解的，並有很多與之類似的謎題。

簡介
謎題
此謎題有許多版本，以下為最原始的版本：

已知x和y是兩個大於1的整數，滿足x小于y，而兩數之和不大於100（即x, y \in \mathbb{Z}，1 ，x + y \le 100）。

S和P則是兩位邏輯非常好的數學家。另外，S知道兩數之和x + y，P則知道兩數之積xy。兩人都知道上述資訊後，對話如下：

  • S先說：「P不知道x和y的值。」
  • P回復：「現在我知道x和y的值了。」
  • S再說：「現在我也知道x和y的值了。」

請問x和y兩數分別為多少？

謎底
P知道的乘積為52，S知道的和為17，換句話說，(x, y) = (4, 13)。

解析
數學家視角
以下將按對話順序分析數學家P和S的想法：

獲取資訊後
P：已知積 p = 52，(x, y)可能為(2, 26)或(4, 13)，因此不知兩數具體為何。

S：已知和 s = 17，(x, y)可能的情況如下：

由上表可知，在所有S認為可能的乘積p下，P皆不能確定兩數具體為何，因而說出：「P不知道x和y的值」。

S第一句話後
P：若S能斷言自己（P）不知道兩數，則S手中的s對應的所有可能乘積，均可引出超過一組可能的解。

因此，P分別針對s = 17和s = 28的可能情況：

  • s = 28時，(x, y) = (5, 23)而p = 115，和(x, y) = (11, 17)而p = 187，兩個可能乘積都只能引出一種可能解，使得S無法斷言P不知道兩數。
  • s = 17時，經驗證後其滿足條件。

此時P確定s = 17，(x, y) = (4, 13)，因而說出：「現在我（P）知道x和y的值了」。

P回應後
S：若P能宣告他知道x和y的值，則P手中的p對應的可能組合中，「恰好只有一組」的和s能滿足「所有對應的可能乘積，均可引出超過一組可能解。」的篩選條件。

因此，S分別針對自己手中的7種可能乘積進行模擬與排除：

由上表可知，唯有p = 52時P可以排除其他干擾項並得出唯一解。

此時S確定p = 52，(x, y) = (4, 13)，因而說出：「現在我（S）也知道x和y的值了」。

讀者視角
謎題給出的基本條件稱為條件A：x, y \in \mathbb{Z}，1 ，x + y \le 100。

令兩數之和為s，兩數之積為p = xy，以下所有數對(x, y)皆預設符合條件A。

從S的第一句話可知，s所拆分出的每一組(x, y)，其乘積p皆可拆分成多於一組符合條件A的數對。因此，S在只知道s的情況下，便能肯定P無法單憑p確定x和y的值。（條件B）

從P的第一句話可知，P在知道p並得知s符合條件B後，檢視了p的所有可能分解(x, y)，發現其中「恰好只有一組」對應的和s = x + y符合條件B，故P得以確定x和y的值。（條件C）

從S的第二句話可知，S在得知P已確定答案後，檢視了s的所有可能拆分(x, y)，發現其中「恰好只有一組」對應的積p = xy符合條件C，故S亦得以確定x和y的值。（條件D）

依據條件A，s的最小值為2 + 3 = 5，最大值為100。以下篩選出所有符合條件B的s可能值：

  • 若x, y皆為質數，則p = xy只有唯一分解，故s不可能拆分為兩個質數之和。由此可排除所有不小於8的偶數（根據哥德巴赫猜想，大於2的偶數皆可表示為兩個質數之和，且在100以內皆成立；注意到6 = 3 + 3不滿足x ），以及「2 + \,奇質數」的形式。
  • 若p = q^3（q為質數），則p僅有唯一分解(q, q^2)，故s不可能拆分為(q, q^2)，由此排除6 = 2 + 2^2。
  • 若p含有大於50的質因數q，由於y ，必定有y = q，故p僅有唯一分解(x, q)，由此排除所有不大於100且可拆為(x, 53)及以上質數的s，即排除不小於53 + 2 = 55的整數。
  • 若p = 2q^2（q > 10為質數），由於y ，y不可能為q^2，故p僅有唯一分解(q, 2q)，即s不可能為3q。由此排除51 = 3 \times 17。

s剩餘的可能值為：
:11, 17, 23, 27, 35, 37, 41, 47, 53（記為集合*）

上述可能值皆符合條件B。因為s為奇數，任何拆分出的(x, y)必為一奇數a與一偶數2b：

  • 當b = 1時，a必為合數（否則即為「2 + \,奇質數」，已被排除）。由於a \le 53 - 2 = 51，故a必有小於等於7的質因數q。乘積p = 2a可另拆為a/q與2q，易知其和不大於100，符合條件A。
  • 當b > 1時：

若a \neq b，則乘積p = 2ab亦可拆為2a與b。由於a \le 53 - 4 = 49，其和2a + b = (a + 2b) + (a - b) = s + (a - b) \le 53 + (49 - 2) = 100，符合條件A**。
* 若a = b，則a為合數（a不是質數，因其3倍不在集合中）。此時a = s/3 \le 53/3 ，故a必有質因數3。乘積p = 2a^2可另拆為2a/3與3a，其和2a/3 + 3a ，符合條件A。（亦可直接驗證，集合*中僅有27為3的倍數。）

接下來檢查集合*中的s可能值是否滿足條件D：

注意到若p = 2^k q（其中q為奇質數），則p僅有一組和為奇數的可能拆分(2^k, q)。因此，若其和2^k + q符合條件B（即屬於集合*），則p必然符合條件C。

  • 11可拆分為(4, 7)與(8, 3)，對應的乘積28 = 2^2 \times 7（和為11）與24 = 2^3 \times 3（和為11）皆符合條件C，故11不滿足條件D。
  • 同理，23可拆為(4, 19)與(16, 7)；27可拆為(4, 23)與(8, 19)；35可拆為(4, 31)與(16, 19)；37可拆為(8, 29)與(5, 32)；47可拆為(4, 43)與(16, 31)，故23, 27, 35, 37, 47皆不滿足條件D。

剩餘需要檢查的s可能值為17, 41, 53：

  • 41拆分為(4, 37)的積符合條件C。另外拆分為(2, 39)時，積78可拆為(6, 13)（和為19）與(3, 26)（和為29），由於19與29皆不在集合*中（不符合條件B），故(2, 39)的積亦符合條件C，導致41不滿足條件D。
  • 53拆分為(16, 37)的積符合條件C。另外拆分為(5, 48)時，積240可拆為(15, 16)（和為31）與(3, 80)（和為83），由於31與83皆不在集合*中，故(5, 48)的積亦符合條件C，導致53不滿足條件D。

檢查17的各拆分組合：

  • (2, 15)的積可拆為(5, 6)，和為11（符合條件B），故(2, 15)的積不符合條件C。
  • 同理，(3, 14)的積可拆為(2, 21)（和為23）；(5, 12)的積可拆為(3, 20)（和為23）；(6, 11)的積可拆為(2, 33)（和為35）；(7, 10)的積可拆為(2, 35)（和為37）；(8, 9)的積可拆為(3, 24)（和為27）。上述各拆分的積所對應的另一組拆分，其和皆屬於集合*（符合條件B），故這些拆分的積皆不符合條件C。

因此，17的所有拆分中，唯有拆分為(4, 13)時其積才符合條件C，故17滿足條件D。

由於17是集合*中唯一滿足條件D的值，由此可得出s = 17，x = 4，y = 13。

參見

  • 謝麗爾的生日
  • 三個杯子問題

參考文獻
外部連結

#智力游戏

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