串行算法回顾
在快速傅里叶变换（FFT）的并行算法中使用了蝶形连接网络。
并行算法
*二维网孔连接网络上的FFT：
将n个处理器排成\sqrt {n}\times\sqrt {n}的二维网孔连接网络，假设输入序列\{a_0,a_1,......,a_{n-1}\}已经存放在了各个处理器中。
**下面以16点变换来解释这个问题，连成的网络及编号如下图所示：
根据快速傅里叶变换的算法，我们来研究这16个点计算时四次循环的具体执行情况。
#同一列间隔一行的元素运算。
#同一列间相邻行的元素运算。
#同一行间隔一列的元素运算。
#同一行间相邻列的元素运算。**
由上面的算法执行过程，我们发现，数据交换-{只}-在同一行或同一列之间的节点间进行。如果我们在第一，二步循环之后对网孔中的数据进行矩阵转置，那么就可以只在同一列节点之间进行运算。
*超立方体连接网络上的FFT：
如果我们按超立方体连接的格雷码将待变换点列填入，那么我们发现，数据交换将只在相邻节点间进行。因此数据通信花費恒为O(1)。
算法复杂度分析
可扩放性分析
首先，我们设消息传递并行计算机中通信模型使用的是Store-and-forward而不是cut-through模型。下面令T_o表示通信开销，T_s表示通信开始时间，T_w表示传送一个字的通信时间，T_h表示数据每一跳的延迟，z_l表示第l次循环时的开销，而t_c表示进行一个单位运算的时间。p为处理器数，d=log(p)，n为待变换的序列大小。
那么我们有公式：
T_o = \sum _{l=0}^{d-1}(T_s+(T_h + T_w\frac{n}{p})z_l)
有这个公式，我们可以得出：
#在二维网孔上的等效率标准函数为：W = 2Kt_w\sqrt {p}\times 2^{2K\frac{t_w}{t_c}\sqrt{p}}
#在超立方体上的等效率标准函数为：W = Kt_w\times p^{K\frac{t_w}{t_c}}\times \log p；
- 参考文献：The Scability of FFT on Parallel Computers, Anshul Gupta and Vipim Kummar。
参阅
*并行计算
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