Wess-Zumino-Witten模型

理論物理與數學中， 威斯-朱米諾-維騰模型（，），乃一簡單之 共形場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫與爱德华·威滕。

作用
設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面S^2（複平面之一點緊緻化）上一G-值場

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型，其作用為
:S_k(\gamma)= - \, \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\,
\mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \, , \,
\gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm WZ}(\gamma) ；
其中首項為量子場論中常見之動量項，重覆指標相加，度量為歐幾里得度量， \mathcal{K} 為g上之Killing 二次式，而\partial_\mu = \partial / \partial x^\mu 為 偏導數。

SWZ 項人稱 Wess-Zumino 項，其定義為
:S^{\mathrm WZ}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\,
\epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left(
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \,
\left[
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \,
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k}
\right]
\right)
其中 [,] 為交換子，\epsilon^{ijk} 為完全反對稱張量，i=1,2,3，y^i為積分座標，取值於單位球 B^3。
在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣\pi_2(G)俱為零（γ已於球面上定義）。

拉回
注意：若 e_a 為李代數g之基向量，則\mathcal{K}(e_a, [e_b, e_c]) 為g 之 結構常數。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上一个三次微分形式。故上述積分實為球B^3上之三次調和式的拉回。記此三次式為 c、其拉回為 \gamma^{*}，則我们有
:S^{\mathrm WZ}(\gamma) = \int_{B^3} \gamma^{*} c
自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。

拓撲障礙
γ 有多種延拓至球B^3K之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數k需符合以下「量子條件」：

• 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 S^2黏起此兩個三維球，則成一三維球面S^3；其中每一三維半球面來自一B^3。 γ 之兩種延拓則成為一影射： S^3\rightarrow G。然而，任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

\pi_3(G)=\mathbb{Z} 。故
:S^{\mathrm WZ}(\gamma) = S^{\mathrm WZ}(\gamma')+n
其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， n為一整數——黏合後影射之卷绕数。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若
:\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma) \right)=
\exp \left( i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma')\right)

是故，耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階（level）。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。 當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之酉最高權表示，而其最高權為 dominant integral。此等表示是可積表示。

我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。胡安·马尔达西那與以此描述三維反德西特空間上之弦理論。此時 π3(SL(2,R))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

推廣
上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

參見

• 陳-西蒙斯理論
• 紐結理論

參攷

• J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
• E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
• V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

註