角動量圖

在量子力學以及其應用如多體問題、量子化學等領域中，角動量圖是一種圖形表示法，用以代表一量子系統的角動量量子態，使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。

此方法是由立陶宛物理學家於20世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中，形似的符號表示法尚有費曼圖與潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭與頂點，有些還有量子數的標記。

狄拉克符號與朱西斯角動量圖的等價
角動量量子態
單一粒子帶有總角動量量子數j與總磁量子數m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j，其量子態向量以狄拉克符號的右矢（Ket）標記為，其圖形則為單箭頭的箭號。有一相對應的左矢（Bra）為，其圖形為雙箭頭的箭號，指向與右矢相反。

例子中

量子數j、m常標記在箭頭附近，以表示特定的角動量量子態，
箭頭常在線段的中間
等號"="置於等價的圖樣之間，如同相應的代數運算。

最基本的左矢與右矢圖形符號為：

箭號指向頂點或從頂點指出，分別為

標準表象（standard representation）以一條離開頂點的指向線段表示，
反標準表象（contrastandard representation）則是以一條進入頂點的指向線段表示。

箭號一個一個相接續。在反標準表象中，採用時間反轉算符T。T算符是么正的，也就是其厄米伴算符T†等於其反算符T−1，即T† = T−1。其作用在位置算符時，結果保持不變：
:T \hat{\mathbf{x}} T^\dagger = \hat{\mathbf{x}}

線動量算符則變為負值：
:T \hat{\mathbf{p}} T^\dagger = - \hat{\mathbf{p}}

自旋算符也變為負值：
:T \hat{\mathbf{S}} T^\dagger = - \hat{\mathbf{S}}

既然軌域角動量算符L = x × p，在T算符作用後也會變為負值：
:T \hat{\mathbf{L}} T^\dagger = - \hat{\mathbf{L}}

也因此總角動量算符J = L + S也變為負值：
:T \hat{\mathbf{J}} T^\dagger = - \hat{\mathbf{J}}

作用在角動量算符本徵態，可得：（見註釋）
:T \left|j,m\right\rangle \equiv \left|T (j,m)\right\rangle = {(-1)}^{j-m} \left|j,-m\right\rangle

時間反轉的圖形符號為：

將頂點標記在正確位置相當重要，否則正向時間與反向時間的算符會相互混淆。

內積
狀態與狀態的內積：
: \langle j_2 , m_2 | j_1 , m_1 \rangle = \delta_{j_1 j_2} \delta_{m_1 m_2}

相應的圖形符號為：

將內積加總，也就是縮併的計算：
:\sum_m \langle j,m | j,m \rangle = 2j + 1

習慣上會以一封閉圓來表示，並且標上j：
:

外積
狀態與狀態的外積是一算符：
:\left| j_2 , m_2 \right\rangle \left\langle j_1 , m_1 \right|

相對應的圖形符號為：

將外積加總，也就是縮併的計算：
:\begin{align}
\sum_m | j,m \rangle \langle j,m | & = \sum_m | j, -m \rangle \langle j, -m | \\
& = \sum_m {(-1)}^{2(j-m)}| j, -m \rangle \langle j, -m | \\
& = \sum_m {(-1)}^{j-m}| j, -m \rangle \langle j, -m |{(-1)}^{j-m} \\
& = \sum_m T| j, m \rangle \langle j, m |T^\dagger
\end{align}

時間反轉算符T的結果可見於上式T。對外積縮併計算來縮，正向時間與反向時間沒有差別，因此圖形符號表示是相同的，皆為一無指向的線段，其上僅標示j：

張量積
n狀態, , ... 的張量積⊗可寫為：

:\begin{align}
\left|j_1 , m_1 , j_2 , m_2 , ... j_n , m_n \right\rangle & \equiv \left|j_1,m_1\right\rangle\otimes\left|j_2,m_2\right\rangle\otimes\cdots\otimes\left|j_n,m_n\right\rangle \\
& \equiv \left|j_1,m_1\right\rangle \left|j_2,m_2\right\rangle \cdots \left|j_n,m_n\right\rangle
\end{align}

圖形符號則呈扇形——n項個別態的線段匯聚於一共同頂點。

頂點附近標有一正負號，以表示張量積的順序：

負號(−)表示順序為順時針走向\circlearrowright，
正號(+)表示順序為逆時針走向\circlearrowleft.

有時候會在正負號之外，加上彎箭頭來表示上述的走向。

兩張量積態的內積：
:\begin{align}
& \left\langle j'_n , m'_n , ... , j'_2 , m'_2 , j'_1 , m'_1 |j_1 , m_1 , j_2 , m_2 , ... j_n , m_n \right\rangle \\
= & \langle j'_n , m'_n | ... \langle j'_2 , m'_2| \langle j'_1 , m'_1 | | j_1 , m_1 \rangle | j_2 , m_2 \rangle ... | j_n , m_n \rangle \\
= & \prod_{k=1}^n \left\langle j'_k , m'_k | j_k , m_k \right\rangle
\end{align}

相關條目

角動量
狄拉克符號
克萊布希－高登係數
角動量算符
階梯算符
費曼圖

參考資料
註釋

These authors use the theta variant ϑ for the time reversal operator, here we use T.

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