史咯米尔奇函数

史咯米尔奇函数（Schlömilch function）是德国数学家在1859年首先研究的函数，定义如下：

S(v,z)=\int_{0}^{\infty}(1+t)^{-v}e^{-zt}dt=z^{v-1}e^{z}\int_{z}^{\infty}e^{-u}/u^{v}du

与其他特殊函数的关系

• S(v,z)=\frac{\Gamma(-1+v)(-1+v)(-v+z+vz^(-1+v)exp(z)\Gamma(-v-1, z)z^2+v^2z^(-1+v)exp(z)\Gamma(-v-1, z)z^2)}{\Gamma(v)*z^2 }

*

S(v,z) =(\frac{\Gamma(-1+s)(-1+s)(-s+v) }{v^2} +\frac{(-1+s)v^(-1+s)exp(v)\pi }{sin(\pis)(-s+1) } +\frac{ (-1+s)(1+s)sv^(-1+s)exp(v)WhittakerW(-1-(1/2)s, -(1/2)s-1/2, v)\Gamma(-1+s)}{ v^(1+(1/2)s)exp((1/2)v) } + Piv^(-1+s)exp(v)csc(Pis) )
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S(0.5,z) \approx \sqrt(Pi)/\sqrt(z)-2+\sqrt(\pi)\sqrt(z)-(4/3)z+(1/2)z^(3/2)\sqrt(\pi)-(8/15)z^2+(1/6)z^(5/2)\sqrt(\pi)-(16/105)z^3+(1/24)z^(7/2)*\sqrt(\pi)+O(z^4)

S(0.2,z) \approx {\Gamma(4/5)/z^(4/5)+z^(1/5)\Gamma(4/5)+(1/2)z^(6/5)\Gamma(4/5)+(1/6)z^(11/5)\Gamma(4/5)+(1/24)z^(16/5)\Gamma(4/5)-5/4-(25/36)z-(125/504)z^2-(625/9576)*z^3+O(z^4)}

参考文献
*Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis, p352

外部链接
*[http://mathworld.wolfram.com/SchloemilchsFunction.html Schlomilch function]