双重sine-Gordon方程

双重sine-Gordon方程是一个非线性偏微分方程，它在诸如铁磁物质研究、、液晶研究、氦、等工程物理系领域有广泛的運用。双重sine-Gordon方程形式如下：

u_{xt}=asin(u)+bsin(2u)

变换
作变换

u = 2*arctan(v)

经简化后，上列方程化为

2v_{xt}+2v_{xt}v^2-4v_{t}vv_{x} = 2v(a+av^2+2b-2bv^2)

中间解
此v方程有雅可比椭圆函数解：

{v = _C5JacobiCN(_C2+_C3x-(a_C5^2-2b_C5^2+a+2b)t/(_C3(_C5^2+1)), \sqrt((a_C5^4+2a_C5^2+a+2b-2b_C5^4)(a_C5^2-2b_C5^2+a))_C5/(a_C5^4+2a_C5^2+a+2b-2b*_C5^4))}

{v = _C5JacobiDN(_C2+_C3x-_C5^2(a_C5^2-2b_C5^2+a)t/(_C3(_C5^4+2_C5^2+1)),\sqrt((a_C5^4+2a_C5^2+a+2b-2b_C5^4)(a_C5^2-2b_C5^2+a))/((a_C5^2-2b_C5^2+a)*_C5))}

{v = _C5JacobiNC(_C2+_C3x+(a_C5^2-2b_C5^2+a+2b)t/(_C3(_C5^2+1)), \sqrt((a_C5^4+2a_C5^2+a+2b-2b_C5^4)(a_C5^2+a+2b))/(a_C5^4+2a_C5^2+a+2b-2b*_C5^4))}

{v = _C5JacobiND(_C2+_C3x+(a_C5^2+a+2b)t/(_C3(_C5^4+2_C5^2+1)), \sqrt((a_C5^4+2a_C5^2+a+2b-2b_C5^4)(a_C5^2+a+2b))/(a_C5^2+a+2b))}

{v = _C5JacobiNS(_C2+_C3x+_C5^2(a_C5^2-2b_C5^2+a)t/(_C3(_C5^4+2_C5^2+1)), \sqrt(-(a_C5^2-2b_C5^2+a)(a_C5^2+a+2b))/((a_C5^2-2b_C5^2+a)*_C5))}

…………………………

以及双曲函数解

{v = \sqrt((a-2b)a)sinh(_C1+_C2x-(a-2b)t/_C2)/(a-2*b)}

{v = \sqrt(-(a-2b)a)cosh(_C1+_C2x-(a-2b)t/_C2)/(a-2*b)}

{v = \sqrt(-(a-2b)(a+2b))tanh(_C1+_C2x+(1/8)(a^2-4b^2)t/(_C2b))/(a-2b)}

{v = -\sqrt(a(a+2b))csch(_C1+_C2x+(a+2b)t/_C2)/a}

………………

和三角函数解

{v = \sqrt((a-2b)(a+2b))cot(_C1+_C2x-(1/8)(a^2-4b^2)t/(_C2b))/(a-2b)}

{v = \sqrt((a-2b)(a+2b))tan(_C1+_C2x-(1/8)(a^2-4b^2)t/(_C2b))/(a-2b)}

{v = \sqrt(-(a-2b)a)cos(_C1+_C2x+(a-2b)t/_C2)/(a-2*b)}

{v = \sqrt(-(a-2b)a)sin(_C1+_C2x+(a-2b)t/_C2)/(a-2*b)}

……
行波解
作反变换

u=tan(v/2)即得原来sine-Gordon方程的行波解：

\begin{align}

• 2 arctan(1.5 JacobiCN(-1.2 - 1.3 x + 0.17751479289940828402 t, 1.0741723110591493207 I))\\
• 2 arctan(1.5 JacobiDN(1.2 + 1.3 x + 0.20482476103777878925 t, 0.93094933625126274463 I))\\
• 2 arctan(1.5 JacobiNC(1.2 + 1.3 x + 0.17751479289940828402 t, 1.4675987714106856141))\\

2 arctan(1.5 JacobiND(1.2 + 1.3 x + 0.38233955393718707328 t, 0.68138514386924689225))\\

• -2 arctan(1.5 JacobiNS(-1.2 - 1.3 x + 0.20482476103777878925 t, 1.3662601021279464511))\\
• -2 arctan(1.5 JacobiSN(-1.2 - 1.3 x + 0.38233955393718707328 t, 0.73192505471139988450))\\
• -(2I)arctanh(sinh(-15.1+1.2x+.83333333333333333333t))\\

2arctan(sin(15.1-1.2x+.83333333333333333333t))\\
2arctan(sqrt(3)coth(15.1-1.2x+.31250000000000000000*t))\\

\end{align}
行波图
参考文献