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古德温 - 斯塔顿积分

Wikipedia · 2025-12-06 维基百科 👁 1 阅读

古德温 - 斯塔顿积分（）定义如下

G(z)=\int _{0}^{\infty }\!{\frac {{{\rm e}^{-{t}^{2}}}}{t+z}}{dt}

它是下列三阶非线性常微分方程的一个解：
4\,w \left( z \right) +8\,z{\frac {d}{dz}}w \left( z \right) + \left(
2+2\,{z}^{2} \right) {\frac {d^{2}}{d{z}^{2}}}w \left( z \right) +z{
\frac {d^{3}}{d{z}^{3}}}w \left( z \right) =0

对称关系
G(-z)=G(z)

与其他函数的关系
;Meijer G-函数
*G(z)=\frac{1}{2}\,{\frac {
G^{3, 2}_{2, 3}\left({z}^{2}\, \Big\vert\,^{0, 1/2}_{1/2, 0, 0}\right)
}{\pi }} MeijerG 函数

;指数函数与误差函数

*G \left( z \right) ={{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{\it Ei} \left( 1,-{z}^{2}
\right) {{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{{\rm e}^{-{z}^{2}}}
{{\rm erf}\left(iz\right)}

;

*G \left( z \right) ={{\rm e}^{-{z}^{2}}}+
{{\rm U}\left(1,\,1,\,-{z}^{2}\right)}{{\rm e}^{{z}^{2}}}{{\rm e}^{-{z
}^{2}}}+{\frac {2\,i{{\rm e}^{-{z}^{2}}}z
{{\rm M}\left(1/2,\,3/2,\,{z}^{2}\right)}}{\sqrt {\pi }}}

  • G \left( z \right) ={{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{\it Ei} \left( 1,-{z}^{2}

\right) {{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{\frac {2\,i{{\rm e}^{-{z}^{2}}}z{\it
HeunB} \left( 1,0,1,0,\sqrt {{z}^{2}} \right) }{\sqrt {\pi }}}

*G \left( z \right) ={{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{\it Ei} \left( 1,-{z}^{2}
\right) {{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{\frac {z{{\rm e}^{-{z}^{2}}} \left( -i{
\it erfc} \left( \sqrt {-{z}^{2}} \right) +i \right) }{\sqrt {-{z}^{2}
}}}

;拉盖尔函数
*G \left( z \right) ={{\rm e}^{-{z}^{2}}}+{\it Ei} \left( 1,-{z}^{2}
\right) {{\rm e}^{-{z}^{2}}}+i{{\rm e}^{-{z}^{2}}}\sqrt {\pi }z{\it
LaguerreL} \left( -1/2,1/2,{z}^{2} \right)

*

级数展开
*G(z)=10\,{z}^{-1}-50\,{z}^{-2}-{\frac {1000}{3}}\,{\frac {{z}^{2}-1}{{z}^{3
}}}+2500\,{\frac {{z}^{2}-1}{{z}^{4}}}+10000\,{\frac {2-2\,{z}^{2}+{z}
^{4}}{{z}^{5}}}-{\frac {250000}{3}}\,{\frac {2-2\,{z}^{2}+{z}^{4}}{{z}
^{6}}}-{\frac {5000000}{21}}\,{\frac {-6+6\,{z}^{2}-3\,{z}^{4}+{z}^{6}
}{{z}^{7}}}+{\frac {6250000}{3}}\,{\frac {-6+6\,{z}^{2}-3\,{z}^{4}+{z}
^{6}}{{z}^{8}}}+{\frac {125000000}{27}}\,{\frac {24-24\,{z}^{2}+12\,{z
}^{4}-4\,{z}^{6}+{z}^{8}}{{z}^{9}}}-{\frac {125000000}{3}}\,{\frac {24
-24\,{z}^{2}+12\,{z}^{4}-4\,{z}^{6}+{z}^{8}}{{z}^{10}}}
*G(z)=(1-\gamma-\ln \left( {z}^{2} \right) -i{\it csgn} \left( i{z}^{2}
\right) \pi +{\frac {2\,i}{\sqrt {\pi }}}z+ \left( -2+\gamma+\ln
\left( {z}^{2} \right) +i{\it csgn} \left( i{z}^{2} \right) \pi
\right) {z}^{2}+{\frac {-4/3\,i}{\sqrt {\pi }}}{z}^{3}+ \left( {
\frac {5}{4}}-1/2\,\gamma-1/2\,\ln \left( {z}^{2} \right) -1/2\,i{
\it csgn} \left( i{z}^{2} \right) \pi \right) {z}^{4}+O \left( {z}^{5
} \right) )

参考文献

#特殊函数

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