循环数

循环数（），是一类特殊的整数，其包含的各个数字的循环排列恰为该数的连续倍数 ; 一個n位的循环数的性質是它乘以1至n都是各个数字的循环排列 , 乘以(n+1)會出現純位數 , 純位數每個位都是9。例如，最知名的循环数是142857：
:142857 × 1 = 142857
:142857 × 2 = 285714
:142857 × 3 = 428571
:142857 × 4 = 571428
:142857 × 5 = 714285
:142857 × 6 = 857142

乘以7出現純位數
:142857 × 7 = 999999

另一例子為(0)588235294117647
:588235294117647 × 1 = 588235294117647
:588235294117647 × 2 = 1176470588235294
:588235294117647 × 3 = 1764705882352941
:588235294117647 × 4 = 2352941176470588
:588235294117647 × 5 = 2941176470588235
:588235294117647 × 6 = 3529411764705882
:588235294117647 × 7 = 4117647058823529
:588235294117647 × 8 = 4705882352941176
:588235294117647 × 9 = 5294117647058823
:588235294117647 × 10 = 5882352941176470
:588235294117647 × 11 = 6470588235294117
:588235294117647 × 12 = 7058823529411764
:588235294117647 × 13 = 7647058823529411
:588235294117647 × 14 = 8235294117647058
:588235294117647 × 15 = 8823529411764705
:588235294117647 × 16 = 9411764705882352

乘以17出現純位數
:588235294117647 * 17 = 9999999999999999

长度为L的循环数可以表示为单位分数\frac{1}{L+1}小数表示形式的循环部分。反过来，如果\frac{1}{p}（其中p为質数）的循环长度为p-1（这样的質数p称为全循环質数），那么其循环部分表示的就是一个循环数。例如：
{1 \over 7}=0.\overline{142857}

其不同倍数的循环部分则是该循环数的循环排列：
:{1 \over 7}=0.\overline{142857}
:{2 \over 7}=0.\overline{285714}
:{3 \over 7}=0.\overline{428571}
:{4 \over 7}=0.\overline{571428}
:{5 \over 7}=0.\overline{714285}
:{6 \over 7}=0.\overline{857142}

參見
*全循環質數

参考文献