连续q拉盖尔多项式

连续q拉盖尔多项式(Continuous q-Laguerre polynomials)是一个以基本超几何函数定义的正交多项式。

P_{n}^{(\alpha)}(x|q)=\frac{(q^\alpha+1;q)_{n}}{(q;q)_{n}}_{3}\Phi_{2}(q^{-n},q^{\alpha/2+1/4}e^{i\theta},q^{\alpha/2+1/4}*e^{-i\theta};q^{\alpha+1},0|q,q)
极限关系
Q梅西纳-帕拉泽克多项式→连续q拉盖尔多项式

P_{n}(cos(\theta+\phi);q^{\alpha/2+1/2}|q)=q^{(-\alpha/2-1/4)n}P_{n}^(\alpha)(cos\theta|q)

阿拉-萨拉姆-迟哈剌多项式→连续q拉盖尔多项式

令连续q拉盖尔多项式中x=q^x,q→1,即得拉盖尔多项式

;验证
3阶连续q拉盖尔多项式：
\lim_{q \to 1}P_{3}^(a)=1/6\,{a}^{3}-x{a}^{2}+{a}^{2}+{\frac {11}{6}}\,a+2\,a{x}^{2}-5\,ax+1-6
\,x-4/3\,{x}^{3}+6\,{x}^{2}

3阶广义拉盖尔多项式：

L_3^{a}(2x)=\frac{1}{6}(a+1)_{3}*_1F_1(-n,a+1;2x)
=1/6\,{a}^{3}-x{a}^{2}+{a}^{2}+{\frac {11}{6}}\,a+2\,a{x}^{2}-5\,ax+1-6
\,x-4/3\,{x}^{3}+6\,{x}^{2}

两者显然相等。

图集
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参考文献
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