完全费米—狄拉克积分

Wikipedia · 2022-10-09 维基百科 👁 1 阅读

完全费米—狄拉克积分，以恩里科·费米和保罗·狄拉克各取一字命名，已知指數j定义如下
:F_j(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{e^{t-x} + 1}\,dt.

等於
:-\operatorname{Li}_{j+1}(-e^x),
此處\operatorname{Li}_{s}(z)為多重对数函数。

特徵值
對j = 0，函數的封閉形式存在：

:F_0(x) = \ln(1+\exp(x)).\,

當s=1，與多重對數函數的值比較：

:\operatorname{Li}_{1}(z)=-\log(1-z).

相關
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参考文献
Table of Integrals, Series, and Products, I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, 5th edition, p. 370, formula № 3.411.3.

外部链接