卢卡斯-卡米切尔数

盧卡斯-卡邁克爾數（）是數學中的一種正合數，得名自數學家愛德華·盧卡斯和羅伯特·丹尼·卡邁克爾。若n為盧卡斯-卡邁克爾數，則對於其所有質因數p，應有p + 1是n + 1的因數。

按習慣，盧卡斯-卡邁克爾數必須為無平方數因數的數（即不能被任何質數的平方整除）。若不加上限制，則任何質數的立方p^3（如2^3 = 8與3^3 = 27）皆會因其唯一的質因數p滿足恆等式：

p^3 + 1 = (p + 1)(p^2 - p + 1),

而使得p + 1必能整除p^3 + 1，從而平凡地滿足條件。

數值列表
盧卡斯-卡邁克爾數的數列被記為，以下列出此數列的前幾項與其質因數：

註：8855（第8項）、588455（第45項）與50587199分別為首個具有4個、5個與6個質因數的盧卡斯-卡邁克爾數。

性質
給定任何盧卡斯-卡邁克爾數n，其必滿足以下性質：

首先，n為奇數。

再來，n至少有3個質因數。

• 卡邁克爾數：無平方數因數的合數n，對其所有質因數p均滿足：

p - 1 \mid n - 1.

• 盧卡斯-卡邁克爾數：無平方數因數的合數n，對其所有質因數p均滿足：

p + 1 \mid n + 1.

如上兩數於計算數論與質數測試中，常扮演著「測試陷阱」的角色。傳統基於費馬小定理的費馬質數判定法會被卡邁克爾數欺騙而誤判為質數，而基於盧卡斯數列的則可能對特定的盧卡斯-卡邁克爾數產生偽陽性結果。

雖然至今仍未發現能同時欺騙這兩種檢驗的「雙重偽素數」，但其理論上的存在性仍作為數論中的一個開放問題，即：是否存在正合數n，對其每一個質因數p皆同時滿足

p - 1 \mid n - 1, \quad p + 1 \mid n + 1.

參考資料
参考

• [http://planetmath.org/lucascarmichaelnumber PlanetMath]