逆小波轉換(inverse wavelet transform)為小波轉換的反函數，小波轉換大致分為三類
連續小波轉換
離散變數連續小波轉換
離散小波轉換
分別介紹此三種的反函數
連續小波轉換反函數
已知
X_w(a,b)=\frac{1}{\sqrt} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi(\frac{t-a}{b})\, dt
則逆轉換為
x(t)=\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b^{5/2}}X_w(a,b) \psi(\frac{t-a}{b})\, dadb
其中
C_{\psi}=\int_{0}^{\infty}\frac df
證明:
由於X_w(a,b)=x(t)*\frac{1}\sqrt[]{b}\psi(\frac{-t}{b})
假設y(t)=\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b^{5/2}}X_w(a,b) \psi(\frac{t-a}{b})\, dadb
則y(t)=\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}x(t)\psi(\frac{-t}{b})\psi(\frac{t}{b})\frac{db}{b^3}
經過傅立葉轉換，原本的摺積性質變為相乘
Y(f)=\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}X(f)\boldsymbol\psi(-bf)\boldsymbol\psi(bf)\frac{db}{b}
如果母小波為實函數，則其傅立葉轉換有以下性質
\boldsymbol\psi(-f)=\boldsymbol\psi^(f),\boldsymbol\psi(-bf)\boldsymbol\psi(bf)=\boldsymbol\psi^(f)\boldsymbol\psi(bf)=|\boldsymbol\psi(bf)|^2
Y(f)=X(f)\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}|\boldsymbol\psi(bf)|^2\frac{db}{b}
=X(f)\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}|\boldsymbol\psi(f_1)|^2\frac{df_1}{bf}(使用變數代換f_1=bf)
=X(f)\frac{1} C_{\psi}\int_{0}^{\infty}|\boldsymbol\psi(f_1)|^2\frac{df_1}{bf_1}
=X(f)
得證y(t)=x(t)
離散變數連續小波轉換反函數
x(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2^{m/2} \psi_1(2^m-n) X_w(n,m)
\psi_1(t)為\psi(t)的雙效函數(dual function)，滿足以下正交(orthogonal)特性
\sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2^m \psi_1(2^m-n)\psi(2^m t_1-n) = \delta(t-t_1)
或是
\int_{-\infty}^{\infty} 2^m \psi_1(2^{m_1}t-n_1)\psi(2^mt-n)\,dt = \delta(m-m_1)\delta(n-n_1)
通常會設計成\psi_1(t)=\psi(t)
因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:
\int_{-\infty}^{\infty} 2^m \psi(2^{m_1}t-n_1)\psi(2^mt-n)\,dt = \delta(m-m_1)\delta(n-n_1)
離散小波轉換反函數
在這裡解釋的是如何重建(reconstruction)一個經過離散小波轉換的函數
以進行一階離散小波轉換，升降頻倍率為2為例，可以得到右圖的架構
g_1[n],h_1[n]需要滿足一些條件才能使x[n]=x_0[n]
將此流程進行Z轉換及化簡可得到:
X_0(z)=\frac{1}{2}[G(z)G_1(z)+H(z)H_1(z)]X(z)+\frac{1}{2}[G(-z)G_1(z)+H(-z)H_1(z)]X(-z)
因此為了得到X_0(z)=X(z)，須滿足以下二條件
G(z)G_1(z)+H(z)H_1(z)=2
G(-z)G_1(z)+H(-z)H_1(z)=0
可轉換為
\begin{bmatrix}G(z) & H(z) \\G(-z) & H(-z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_1(z)\\H_1(z) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0 \end{bmatrix}
化簡得到\begin{bmatrix}G_1(z)\\H_1(z) \end{bmatrix}=\frac{2}{det(H_m(z))}\begin{bmatrix}H(-z)\\-G(-z) \end{bmatrix}
其中det(H_m(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)
要滿足上式須滿足以下四個條件，此四條件及上式的關係為若且唯若
#\sum_{p}g[p]g_1[2n-p]=\delta[n]
#\sum_{p}h[p]h_1[2n-p]=\delta[n]
#\sum_{p}g[p]h_1[2n-p]=0
#\sum_{p}g_1[p]h[2n-p]=0
證明於參考條目中
因此只要g_1[n],h_1[n]符合上述條件就能將經過離散小波轉換的x_{1,L}[n],x_{1,H}[n]重建為x[n]
相關條目
*數值分析
*訊號處理
參考
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