在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。

条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。

计算
设X和Y是离散随机变量，则X在给定事件Y = y条件时的条件期望是x的在Y的值域的函数

: \operatorname{E} (X | Y=y ) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}(X=x|Y=y) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \frac{\operatorname{P}(X=x,Y=y)}{\operatorname{P}(Y=y)},

其中，\mathcal{X}是处于X的值域。

如果现在X是一个连续随机变量，而Y仍然是一个离散变量，条件期望是：
: \operatorname{E} (X | Y=y )= \int_{\mathcal{X}} x f_X (x |Y=y) dx

其中， f_X (\,\cdot\, |Y=y)是在给定Y=y下X的条件概率密度函数。

正式的定义
给定X是一个定义在概率空间(\Omega,\mathcal F_0,P)上的随机变量，\mathcal F \subset \mathcal F_0是\mathcal F的一个子σ-代数，且E|X|。
则定义X在给定\mathcal F下的条件期望E(X|\mathcal F)是满足以下两个条件的随机变量Y：

Y是\mathcal F上的可测函数；

\forall A\in \mathcal F: \int_A X dP = \int_A Y dP。

在这一定义下，E(X|\mathcal F)是存在且在几乎必然的意义下唯一的。

条件概率的定义
参看

• 全概率公式
• 全期望公式
• 联合分布

参考文献
外部链接
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