千禧年大獎難題（）是七條由美國的克雷數學研究所（，）於2000年5月24日公佈的數學難題，解题总奖金700万美元。根據克雷數學研究所制定的規則，這系列挑戰不限時間，題解必須發表在知名的國際期刊，並經過各方驗證，只要通過兩年驗證期和专家小组审核，每解破一題可獲獎金100万美元。
這些難題旨在呼應1900年德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎提出的23個歷史性數學難題。百多年前的1900年，德国数学家大卫·希尔伯特宣佈了希尔伯特的23个问题，地点正是在巴黎举行的第二届国际数学家大会。在二十世纪，对此系列问题的研究极大地推动了数学的发展。出此考虑，克雷数学研究所决定邀请世界上有影响力的数学家参会，并在会上宣佈二十一世纪須解决的七大数学难题，此外还包括解决了费马大定理的安德鲁·怀尔斯、法国数学家阿蘭·科納、数学物理学家爱德华·威滕，以及上述提及过的约翰·泰特和迈克尔·阿蒂亚。他们旨在记录当今数学家面对最难的问题，引起大众对数学研究的注意，强调为难题寻找答案的重要性。克雷數學研究所董事會（）將這筆錢設立為千禧年難題的獎金，每題價值一百萬美元。理論上只有該董事會有權授獎。董事會接受研究所科學顧問委員會（）對得獎人的推薦。
克雷數學研究所規定，任何解題并意在獲獎的研究者，不應把答案直接呈交至研究所，而須先在有國際聲譽的同行評審數學出版物發表完整解答，否則研究所的科學顧問委員會將評定發表方式是否合格。解答須在兩年內獲數學界廣泛接受。若滿足以上條件，科學顧問委員會將成立特別小組以評定獲獎資格，該小組至少有兩位非委員會成員，其中至少一人會完整校驗解答。特別的，對于P/NP问题和纳维-斯托克斯問題，證明或證否皆有獲獎資格。至於其他幾條問題，提出反例亦可獲獎，但若原問題在重構后可以剔除特殊情況而不傷本質，提出者可能只獲得一小筆獎金。此外，若多位數學家對題解做出關鍵貢獻，可由多人分享獎金。它的数学陈述为：一个单连通三维闭流形同胚于三维球面。这猜想是三维流形的分类问题的核心。1962年，斯蒂芬·斯梅爾证明了庞加莱猜想在五维以上的等价结论，四維的情況則在二十年後由麥可·弗里德曼;}-證明，但數學界始終对三维流形束手無策，而人類所处的宇宙是三维流形，更显出问题重要。
龐加萊猜想的官方陈述由约翰·米尔诺撰寫。
2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv贴出了完整证明，先后有两篇文章，但文字简略且原创度极强，数学界经过近三年才完成校验。2006年，多组研究者先后发表论文阐释了佩雷尔曼的成果，并认定其无误。由于这一贡献，国际数学家大会决定授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但他本人却拒绝领奖。2010年3月18日，千禧年大奖正式颁发给佩雷尔曼，但他又一次拒绝领奖，也包括克雷数学研究所的百万奖金。根据俄罗斯国际文传电讯社的消息，佩雷尔曼认为此奖不公，他相信哥伦比亚大学数学家理查德·哈密顿对这问题的贡献丝毫不逊于自己。
未解問題
問題
表示复杂度类的关系。]]
在理论计算机科学，复杂度类指所有可由确定型图灵机在多项式时间内解决的问题，类是所有可在多项式时间内验证解的正确性的问题。可以看出类问题也是类问题，而两者是否完全相等便是问题，此外还被认为有特别的哲学意义。
2001年一项针对100名数学和计算机科学家的调查發現其中61人相信，2012年调查者重复同一问卷發現84%受访者相信，在可能的解决方法上，他们给出了组合数论、逻辑学和代数几何等答案。在研究方面，对问题的重大进展来自1970年代斯蒂芬·库克和的成果，他们证明存在这样一类问题，若能对任意一條NP问题找到多项式时间的求解算法，那么所有问题都是多项式时间可解的。他们将此类命题命名为NP完全问题。
问题的官方陈述由斯蒂芬·库克撰寫。
霍奇猜想
数学的一大分支代数几何的中心研究对象是代数簇，简言之它是由代数方程产生的代数对象，是几何对象的推广，人们所熟知的任何几何对象（如圆）都是一个代数簇，但并非所有代数簇都是几何的、可以直观描绘的。在此猜想中，代数几何学家关心的是非奇异射影代数簇，粗略而言它是一面光滑的多维曲面，由代数方程解定义产生。霍奇猜想所说的是在这种「形状完美」的代数簇上，本可能不是几何对象的霍奇闭链（）却是由名为的几何对象组成的。其严谨的数学表述为：在非奇异复射影代数簇上，任何一條霍奇闭链都可以表示为代数闭链类的有理线性组合，在七大千年难题中，它也被认为是对非专业人士而言最难理解的一个。大体而言，霍奇猜想的证明仍然难见突破，它甚至被称为是漫无边际的猜测。
黎曼猜想
實部與虛部的數值比較圖。]]
數論分支解析數論的一大研究主题是素數分佈。1740年瑞士數學家歐拉研究了如下用希臘字母\zeta命名的函數。为数不少的数学命题以黎曼猜想成立为前提，其在数学上的影响力已远超素数分佈模式一点，对它的研究极大推动了解析数论发展，2012年这结果提升到41.28%。2004年，数学家通过计算机验证了ζ函數前1013个零点，没有找到黎曼猜想反例，但这些离真正证明黎曼猜想仍相去甚远。
杨-米尔斯存在性与质量间隙
在物理学，楊-米爾斯理論是基于非阿贝尔群的量子规范理论。20世纪初，物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合，能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然，物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力和强力一道统一起来，它是对的进一步推广，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足「质量间隙」这特征。
杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由和爱德华·威滕撰寫。
纳维-斯托克斯存在性与光滑性
內的克劳德-路易·纳维胸像]]
在流體力學，纳维-斯托克斯方程描述了包括空氣和水在內的流體的運動。長久以來，數學家和物理學家相信對此方程的解能解釋和預測流體行爲，但至今對它的理解也頗爲有限。具体说来，对i=1,2,3，都有如下纳维-斯托克斯方程。另外，给定初始条件，总能找到一个正数T，使方程在[0,T)的时间段上可解，这正数也称「爆裂时间」（）。
纳维-斯托克斯存在性与光滑性問題的官方陳述由查尔斯·费夫曼撰寫。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
在数论和代数几何，由形如y^2 = x^3 + ax + b的等式定义、且没有奇点的曲线称椭圆曲线。椭圆曲线是数论研究的重要领域，例如安德魯·懷爾斯对费马大定理的证明的关键便是椭圆曲线。它在密码学和数据传输上也均有应用。
有大量數值依據表明猜想正確。而在1994年前該猜想是否有意義都不甚明確，當時的數學家並不知是否存在一個合適的L(C,s)函數，使得對所有的s都有一個答數，這猜想直到1994年才作爲谷山-志村定理一個特殊形式被解決。近年來此問題進展不多，特別是對於橢圓曲線秩大於1的情況，數學家所知甚少。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的官方陳述由安德魯·懷爾斯撰寫。
參見
- 希爾伯特的23個問題
- 斯梅尔问题
注释
參考來源
外部連結
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