反演

反演是種幾何變換。給定點O、常數k，點P的變換對應點就是在以O開始的射線\overrightarrow{OP}上的一點P'使得\overline{OP} \cdot \overline{OP'} = k^2。

反演的結果：

• 過O的直線：直線
• 過O的圓：不過O的直線
• 不過O的圓：圓
• 過O的球：不過O的平面

對於點x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)，以原點為中心，在直角坐標系的反演變換可寫成
:x_i \rightarrow \frac{k^2 x_i}{\sum_j x_j^2}

以下都可視為反演：

• 立體投影法：可以取球面上任意一點為中心，球的直徑為k。
• 共軸圓：在平面取一系列共心圓，取一系列經過共心圓圓心的線，任意取一點為中心進行反演。

阿波羅尼奧斯問題
阿波罗尼奥斯圆是其中一個可用反演變換輕易解決的問題。在平面給定三個圓，求作出與三圓相切的第四個圓。

参见

• 反射
• 旋转
• 平移
• 点反演
• 缩放

参考文献