单位阶跃函数

單位階躍函數，又称赫维赛德阶跃函数，通常用 或 表记，有时也会用 、 或 表记，是一个由奥利弗·亥维赛提出的阶跃函数，参数为负时值为0，参数为正时值为1。

分段函数形式的定義如下：

:H[n]=\begin{cases} 0, & n

另一种定义为：

: H(x) =
\begin{cases} 0, & x 0
\end{cases}

或
: H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

它是個不連續函數，其微分是狄拉克δ函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數的累積分布函數。

事實上，x = 0的值在函數應用上並不重要，可以任意取。
連續函數逼近

• H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}

有許多可以以解析方式近似的函數，以下是二個例子：

• H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \
• H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \

積分表示
:\begin{align}
H(x)&=\lim_{ \varepsilon \to 0^+} -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} d\tau \\
&=\lim_{ \varepsilon \to 0^+} \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\tau-i\varepsilon} e^{i x \tau} d\tau.
\end{align}

参见

• 狄拉克δ函数
• 数学函数列表
• 拉普拉斯变换
• 负数
• 矩形函数
• 符号函数
• 阶梯响应

參考資料