水仙花数

在数论中，水仙花数（Narcissistic number），也被稱為超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自戀數、自幂數或阿姆斯特朗數（Armstrong number） ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。

水仙花数的定义
设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = dkdk-1...d1 ，则有：

:n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

如果该自然数n满足条件：

:n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。
例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：

:153 = 13 + 53 + 33。
:370 = 33 + 73 + 03。
:371 = 33 + 73 + 13。
:407 = 43 + 03 + 73。

若將條件放寬，一個N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant）

完整的十进制水仙花数列表如下：

#0
#1
#2
#3
#4
#5
#6
#7
#8
#9
#153
#370
#371
#407
#1634
#8208
#9474
#54748
#92727
#93084
#548834
#1741725
#4210818
#9800817
#9926315
#24678050
#24678051
#88593477
#146511208
#472335975
#534494836
#912985153
#4679307774
#32164049650
#32164049651
#40028394225
#42678290603
#44708635679
#49388550606
#82693916578
#94204591914
#28116440335967
#4338281769391370
#4338281769391371
#21897142587612075
#35641594208964132
#35875699062250035
#1517841543307505039
#3289582984443187032
#4498128791164624869
#4929273885928088826
#63105425988599693916
#128468643043731391252
#449177399146038697307
#21887696841122916288858
#27879694893054074471405
#27907865009977052567814
#28361281321319229463398
#35452590104031691935943
#174088005938065293023722
#188451485447897896036875
#239313664430041569350093
#1550475334214501539088894
#1553242162893771850669378
#3706907995955475988644380
#3706907995955475988644381
#4422095118095899619457938
#121204998563613372405438066
#121270696006801314328439376
#128851796696487777842012787
#174650464499531377631639254
#177265453171792792366489765
#14607640612971980372614873089
#19008174136254279995012734740
#19008174136254279995012734741
#23866716435523975980390369295
#1145037275765491025924292050346
#1927890457142960697580636236639
#2309092682616190307509695338915
#17333509997782249308725103962772
#186709961001538790100634132976990
#186709961001538790100634132976991
#1122763285329372541592822900204593
#12639369517103790328947807201478392
#12679937780272278566303885594196922
#1219167219625434121569735803609966019
#12815792078366059955099770545296129367
#115132219018763992565095597973971522400
#115132219018763992565095597973971522401

十二進制下的水仙花數
:25:22+52=25
:A5:A2+52=A5
:577:53+73+73=577
:668:63+63+83=668
:A83:A3+83+33=A83
:14765:15+45+75+65+55=14765
:938A4:95+35+85+A5+45=938A4

顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。

• 三进制中的这样的数有：0、1、2、12、122
• 四进制中的这样的数有：0、1、2、3、313

参考资料

• Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
• [https://web.archive.org/web/20040606020332/http://mathews-archive.com/digit-related-numbers/pdi.html Perfect Digital Invariants] by Walter Schneider
• [http://arxiv.org/abs/0911.3038 On a curious property of 3435] by Daan van Berkel