{{Probability distribution
| name = 朗道分布
| type = density
| pdf_image =
\mu=0,\; c=\pi/2
| support = \mathbb{R}
| parameters = c \in(0,\infty) — 宽度参数
\mu\in(-\infty,\infty) — 位置参数
| char = \exp\left(i\mu t -\frac{2ict}{\pi}\log|t| - c|t|\right)
| mean = 无定义
| variance = 无定义
| mgf = 无定义
| pdf = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{e^{-ct} \cos\left( (x-\mu)t+\frac{2ct}{\pi}\log{t} \right)\, dt }
}}
在概率论中，朗道分布（）是因物理学家列夫·朗道而得名的一种概率分布。由于它所具有的「长尾」现象，这种分布的各阶矩（如数学期望与方差）都因发散而无法定义。这种分布是稳定分布的一个特例。
定义
标准朗道分布的概率密度函数由以下复积分式表示，
:p(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\! e^{s \log s + x s}\, ds ,
其中c为任意正实数，log 为自然对数。可以证明，上式结果与c的取值无关。在复平面上做围道积分，可得到便于计算的实积分式，
:p(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty\! e^{-t \log t - x t} \sin(\pi t)\, dt .
上式即 \mu=0,\; c=\pi/2 的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族，就可以获得完整的朗道分布族
:p(x;\mu,c) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{e^{-ct} \cos\left( (x-\mu)t+\frac{2ct}{\pi}\log{t} \right)\, dt }.
其特徵函數可表示如下，
:\varphi(t;\mu,c)=\exp\!\left(i\mu t - c|t| - \frac{2ict}{\pi}\log|t| \right) ,
两个实参数的取值范围 \mu\in(-\infty,\infty)，c \in(0,\infty)，调整 \mu,\; c 分别实现朗道分布的平移和缩放。
相关性质
从特征函数出发可以推导出：
- 平移：若 X \sim \textrm{Landau}(\mu,c) 则 X + m \sim \textrm{Landau}(\mu + m ,c)。
- 缩放：若 X \sim \textrm{Landau}(\mu,c) 则 aX \sim \textrm{Landau}(a \mu-2ac/\pi\cdot\log{a},\,ac)。
- 可加性：若 X \sim \textrm{Landau}(\mu_1,c_1),\, Y \sim \textrm{Landau}(\mu_2,c_2) 则 X+Y \sim \textrm{Landau}(\mu_1+\mu_2,\,c_1+c_2)。
以上三条性质保证了朗道分布是一种稳定分布，它的稳定参数和偏度参数 \alpha=\beta=1。
当 \mu=0,\,c=1 时，朗道分布可以近似表示为
:p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{1}{2}(x + e^{-x})\right\}.
参考文献
评论 (0)