反餘切

{{函數
|name =反餘切
|image =Two kind of arccot.svg
|image-caption = 反餘切函數有多種定義方式
代表直接對餘切函數取反函數
表示取最小正同界角{{#tag:ref|取最小同界角的反餘切函數
，記為：\arccot、arcctg、ACOT或\cot^{-1}，對應的三角函數為餘切函數，是利用已知直角三角形的鄰邊和對邊這兩條直角邊長度的比值求出其夾角大小的函數，但其輸入值和反正切的輸入值互為倒數，是高等數學中的一種基本特殊函數。

反餘切可以視為餘切的反函數，但餘切函數是周期函數且在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但也可以視為多值函数，因此我們必須限制餘切函數的定義域使其成為單射和滿射也是可逆的。

一般最常見的方式是限制餘切函數的定義域在0到（180°）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），此時反餘切函數不是奇函数也不是偶函数，而是一個單調遞減的有界函數，最大值為\pi（180°）、最小值為0且函數連續，但有兩條漸近線。

另外一種定義方式是限制餘切函數的定義域在\pm\frac{\pi}{2}（±90°）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），這種限制方式與反正切相同，此時反餘切函數是奇函數，值域與其他相關性質皆與反正切類似，但函數並不連續。

由於餘切是周期函數，而上述二種定義方式皆是取餘切的一個週期，因此其定義域皆為實數集。但當將反餘切函數擴展至複數時，會採用後者的定義方式。

反餘切函數經常記為\cot^{-1}，，在一些舊的教科書中也有人記為arcctg，但那是舊的用法。根據ISO 31-11，應將反餘切函數記為\arccot，因為\cot^{-1}可能會與\frac{1}{\cot}混淆，\frac{1}{\cot}是正切函數。

定義
反餘切表示餘切的反函數，因此是一個多值函數，應用於複變分析
在複變分析中則是採用第二種定義延伸至複數：
:
\arccot x=
\frac\pi2-\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=
\frac\pi2-x+\frac{x^3}3-\frac{x^5}5+\frac{x^7}7-\cdots

以上等式也可以直接用來表示取最小同界角的反餘切函數：
:\arccot(z) = \cot^{-1} (z)=z\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!\left( z^2+1\right)^n}：
:{\rm arccot}'x=-\frac{1}{1+x^2}
:{\rm arccot}*x=\frac{2x}{\left(1+x^2\right)^2\,}
:{\rm arccot}**x=-\frac{8x^2}{\left(1+x^2\right)^3\,}+\frac{2}{\left(1+x^2\right)^2\,}
:{\rm arccot}**'x=\frac{ \; 48x^3 \; }{\;\left(1+x^2\right)^4\,}-\frac{ \; 24x \; }{\;\left(1+x^2\right)^3\,}
:\cdots
除了反正切，反餘切函數同樣可以表示梅欽類公式：
: \frac\pi4=4\arccot{5}-\arccot{239}

恆等式
下面恒等式均适用于函数2（取最小同界角的反余切函数）
:\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
:\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!
:\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ 如果 \ x > 0
:\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ 如果 \ x
和差
:\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y
:\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x
:\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}
積分
:\int \arccot \frac{x}{c} \ dx = x \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)
:\int x \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{c^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x}{2}
:\int x^2 \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x^2}{6} - \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)
:\int x^n \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ dx, \quad n \neq 1

參見

• 反正切
• 正切
• 餘切

註釋
;不同的反餘切定義

參考文獻
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外部連結
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