切线法

切线法是利用切线构造不等式的方法，有时会结合延森不等式。

切线法是属于试探性的方法，但使用范围比延森不等式更广，例如半凹半凸的函数x^2+2\sqrt{x}不能使用延森不等式，但能使用切线法。

常规方法
对于x_1,x_2,...,x_n \in D,x_1+x_2+...+x_n=k，D为给定区间，k为常数，求证f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \le (\ge) C

观察得取等条件为x_1=x_2=...=x_n=\frac{k}{n}时，找出f(x)在x=\frac{k}{n}处的切线函数px+q（假设f可导），尝试证明局部不等式f(x) \le (\ge) px+q 。

例子
已知a,b,c \ge 0,a+b+c=1，求证\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \le \sqrt{21}
:猜得a=b=c=\frac{1}{3}时取等，构造切线使\sqrt{4a+1} \le pa+q让\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \le \sqrt{21}成立。
:\sqrt{4a+1}=\sqrt{\frac{7}{3}}
:(\sqrt{4a+1})'=\frac{2}{\sqrt{4a+1}}=2\sqrt{\frac{3}{7}}
:所求切线为2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}
:(2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}})^2-(4a+1)=\frac{4}{21}(3a-1)^2 \ge 0证得\sqrt{4a+1} \le 2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}
:\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \le 2\sqrt{\frac{3}{7}}(a+b+c-1)+3\sqrt{\frac{7}{3}} = \sqrt{21}

参考资料