在信號處理中，匹配濾波器可以用來解調基頻帶脈波信號，基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的，匹配濾波器需要事先知道傳送的訊號和訊號的同步才能解調出傳送的信號。

此外，匹配濾波器也可用於模式識別 、相似度測試（similarity measure）。

最高SNR證明
假設
g(t)：傳送訊號

w(t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解調結果

1. x(t) = g(t) + w(t)

1. y(t) = [g(t) + w(t)] \ast h(t) 　

= g(t) \ast h(t)+ w(t) \ast h(t)

= G(t) + N(t)

1. SNR = |G(T)|^2 / E[N^2(T)]|

SNR = 信號瞬間功率 / 噪声平均功率

信號瞬間功率

|G(T)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df

雜訊平均功率

E[N^2 (T)]= \frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df

SNR = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df}{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df}

\le \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 e^{j2\pi fT} \, df \int_{-\infty}^{\infty} |G(f) e^{j2\pi fT}|^2 \, df }{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df}

= \frac{2}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df

1. 當

H_{opt}(f) = k[G(f)e^{j2\pi fT}]^* , SNR_{max} = \frac{2} {N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df

所以

h_{opt}(t) = k \int_{-\infty}^{\infty} G(-f)e^{-j2\pi fT} e^{j2\pi ft} \, df

= k \int_{-\infty}^{\infty} G(z)e^{-j2\pi f(T-t)} \, dz

= kg(T-t)

(備註) 柯西-施瓦茨不等式

若

\int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx 且 \int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx

則

|\int_{-\infty}^{\infty} A(x)B(x) \, dx|^2 \le \int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx \int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx

當 A=kB^* 時，等號成立。

匹配濾波器頻率響應
\ x = s + v,\,

\ R_v = E\{vv^\mathrm{H}\}.\,

\mathrm{SNR} = \frac

但由於卷積是線性的，當信號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。

標準化公式

一維信號

當 \sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2 ≠0
:y[n] = {\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]} \over \sqrt{\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2} |h[s]|^2}

當 \sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2 =0
:y[n] = 0

二維信號

當 \sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2 ≠0
:y[m,n] = {\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} \sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2} x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho]} \over \sqrt{\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{v=\rho_1}^{\rho_2} |h[s,v]|^2}

當 \sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2 = 0
:y[m,n] = 0

標準化後的模擬結果：

參考文獻
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Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

參見
*霍夫變換
*拉東變換
*週期圖法
*疊代稀疏漸近最小方差算法