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初等代數

Wikipedia · 2023-05-26 维基百科 👁 1 阅读

初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數，教導對象為還沒有數學和算術方面较深知識的中小学生，大学学习的则称为高等代数。當在算術中只有數字与其運算（如：加、減、乘、除）出現時，在代數中也會使用字母符號诸如 x、y 或 a、b 等表示數字，习惯上用前者表示未知数与變數，用后者表示任意的已知数。

概述
初等代數中还会使用诸如 f(x)、g(x)、f(g(x))、f(x_1, x_2) 等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。

在初等代數裡，表示式包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項（習慣上）寫在表示左邊（參考多項式），舉幾個例子來說：
:x + 3
:y^{2} + 2x - 3
:z^{7} + a(b + x^{3}) + \frac{42}{y} - \pi。
在更進階的代數裡，表示式也會包含有初等函數。

一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立（如 a + b = b + a）；這種等式稱為恆等式。而其他只有變數在某些值時才正確（如 x^{2} - 1 =4），此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解。

定理
与代数运算相关的定理

  • 加法是一可交換的運算（兩個數不論順序為何，它加起來的總和都一樣）。

** 減法是加法的逆運算。
** 減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的：
::: a - b = a + (-b)
:: 例如：若 5 + x = 3 ，則 x = -2。

  • 乘法是一可交換的運算。

** 除法是乘法的逆運算。
** 除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的：
::: {a \over b} = a \cdot {1 \over b}
::例如：若 3 x = 2 ，則 x = \frac{2}{3}。

  • 冪不是一可交換的運算。

** 但冪卻有兩個逆運算：對數 和 开方（如平方根）。
*** 例如：若 3^x = 10，則 x = \log_3 10。
例如：若 x^{2} = 10，則 x = {\sqrt {10}}_\C，即* x_1 = {\sqrt {10}}_\R，x_2= -{\sqrt {10}}_\R。
** 負數的平方根不存在於實數內。（參考：複數）

  • 加法的結合律性質：(a + b) + c = a + (b + c)。
  • 乘法的結合律性質：(ab)c = a(bc).。
  • 對應加法的乘法分配律性質：c(a + b) = ca + cb。
  • 對應乘法的冪分配律性質：(a b)^c = a^c b^c。
  • 冪的乘法： a^b a^c = a^{b+c}。
  • 冪的冪： (a^b)^c = a^{bc}。

与“等於”相关的定理

  • a = a （等於的自反性）。
  • 若 a = b，則 b = a （等於的對稱性）。
  • 若 a = b 且 b = c，則 a = c （等於的遞移律）。
  • 若 a - b = n，則 a^2 - b^2 = na+nb。

其他定理

  • 若 a = b 且 c = d，則 a + c = b + d。

* 若 a = b，則對任一 c*，a + c = b + c（等於的可加性）。

  • 若 a = b 且 c = d，則 ac = bd。

* 若 a = b，則對任一 c*，ac = bc（等於的可乘性）。

  • 若兩個符號相等，則一個總是能替換另一個（替換原理）。
  • 若 a > b 且 b > c，則 a > c（不等式的遞移律）。
  • 若 a > b，則對任一 c，a + c > b + c。
  • 若 a > b 且 c > 0，則 ac > bc。
  • 若 a > b 且 c ，則 ac 。

例子
一元一次方程
最簡單的方程為一元一次方程，它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如：
:2x + 4 = 12. \,

其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除，以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了，等式的另一邊即是此變數的值。例如，將上面式子兩邊同時減去4：
:2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,，
簡化後即為
:2x = 8. \,

再同時除以2：
:\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,
再簡化後即為答案：
:x = 4. \,

一般的情形
:ax+b=c
也可以依同樣的方式得出答案來：
:x=\frac{c-b}{a}
【這就是一元一次方程簡單的說明】

一元二次方程
一元二次方程可以表現成 ax^{2} + bx + c = 0，在這 a 不等於零（假如 a 等於零，則此方式為一次方程式，而非二次方程式）。二次方程式必須保持二次的形態，如 ax^{2}，二次方程式可以通過因式分解求解（多項式展開的逆過程），或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的舉例：

:x^{2} + 3x = 0. \,
這相當於
:x(x + 3) = 0. \,
0 和 -3 是它的解，因爲把 x 置為 0 或 -3 便使上述等式成立。
所有二次方程式在複數體系中都有兩個解，但是在實數系統中卻不一定，例如：
:x^{2} + 1 = 0 \,
沒有實數解，因爲沒有實數的平方是 -1。
有時一個二次方程式會有2重根，例如：
:(x + 1)^{2} = 0. \,
在這個方程中，-1是2重根。

線性方程組
在線性方程組內，如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話，通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。

下面為線性方程組的一個例子，有兩個求解的方法：
:4x + 2y = 14 \,
:2x - y = 1. \,

求解的第一種方法
將第2個等式的左右項各乘以2，

:4x + 2y = 14 \,
:4x - 2y = 2. \,

再將兩式相加，

:\, 8x = 16,
上式可化簡為
:x = 2. \,

因爲已知x=2，於是就可以由兩式中的任意一個推斷出y=3。所以這個問題的完整解為

:\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,
注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；y 也可以在 x 之前求得。

求解的第二種方法
另一種求解的方法為替代。

:\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,

y 的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程：

:2x - y = 1 \,

由方程的兩邊減去 2x：
:2x - 2x - y = 1 - 2x \,
:- y = 1 - 2x \,
再乘上 -1：
: y = 2x - 1. \,

將此 y 值放入原方程組的第一個方程式：

:4x + 2(2x - 1) = 14 \,
:4x + 4x - 2 = 14 \,
:8x - 2 = 14 \,
在方程的兩端加上 2：
:8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,
:8x = 16 \,
此可簡化成
:x = 2 \,。

將此值代回兩個方程式中的一個，可求得和上一個方法所求得的相同解答。
:\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,

注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；在這個方法裡也是一樣的，y 也可以在 x 之前求得。

另見

  • 等量公理
  • 代數
  • 算術
  • 二元運算
  • 高斯消去法
  • 數學教育
  • 數線
  • 多項式

參考

脚注

#初等代数

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