F-分布

{{機率分佈
|name = F分布
|type = 密度
|pdf_image = |
|cdf_image = |
|parameters =d_1>0,\ d_2>0自由度
|support = x \in [0; +\infty)\!
|pdf = \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
|cdf = I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
|mean = \frac{d_2}{d_2-2}\! for d_2 > 2
|median =
|mode = \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\! for d_1 > 2
|variance = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\! for d_2 > 4
|skewness = \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!
for d_2 > 6
|kurtosis = 见下文
|entropy =
|mgf =
|char =
}}

在概率论和统计学裡，*F-分布*（F*-distribution）是一种连续概率分布，被广泛应用于似然比率检验，特别是ANOVA中。

定义
如果随机变量 X 有参数为 d1 和 d2 的 F-分布，我们写作 X ~ F(d1, d2)。那么对于实数 x ≥ 0，X 的概率密度函数 (pdf)是

:
\begin{align}
f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\
&=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\end{align}

这里\mathrm{B}是B函数。在很多应用中，参数 d1 和 d2 是正整数，但对于这些参数为正实数时也有定义。

累积分布函数为

:F(x; d_1,d_2)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,

其中 I 是正则不完全贝塔函数。

右边表格中已给出期望值、方差和偏度；对于d_2>8，峰度为：

:\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.

特征
一个F-分布的随机变量是两个卡方分佈变量除以自由度的比率：

:
\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}
=
\frac{U_1/U_2}{d_1/d_2}

其中：

• U1和U2呈卡方分佈，它们的自由度（degree of freedom）分别是d1和d2。
• U1和U2是相互独立的。

參見
*F检验

参考文献