德布罗意关系

德布羅意关系是描述物質波的波长 \lambda 与动量 p、频率 \nu 与总能 E 之间的关系，也叫做德布罗意方程组。

概述
路易·德布羅意受光的波粒二象性启发，认为微观粒子也有波粒二象性。在物理学中，描述波的物理量为频率和波长；而描述粒子的物理量为能量和动量。德布罗意认为这两组物理量之间有确定的关系，他用一组方程将他们联系在一起，这就是德布罗意关系或德布罗意方程組：

p=\hbar k

E=\hbar\omega

其中

\hbar=h/2\pi 為約化普朗克常數

k 為波数

\omega=2\pi\nu 為角频率

於是可以得到另一种表示方式：

p=h/\lambda

E=h\nu

方程推导
本段落描述的推导是诸多合法的推导的其中一种，它以质能方程和普朗克關係式为基础，进行替换和变形得到结果。

首先，引入爱因斯坦的质能方程：
E=mc^2
然后，引入普朗克關係式：

E=h\nu

德布罗意認為粒子与波具有相同的特性（即在物质世界的量化描述中二者可以被视作是同一的），所以他假设二者的效能是等同的：

mc^2=h\nu

由于实际粒子并非以真空光速游动，所以德布罗意用 v 代替 c (光速)，得到

mv^2=h\nu

代入 v/\lambda=\nu，得到：

mv^2=hv/\lambda

这便是為波长与粒子速度的关系式。

于是有：

\lambda=hv/mv^2=h/mv=h/p

因此得出：

p=h/\lambda

低速近似
上述推导是普适的（理论上的），然而在微观低速的情况下，人们难以直接得到微粒的动量，因此也难得微粒的德布罗意波长λ。

幸运的是，我们可知在低速条件下有E=p2/2m，

所以此时德布罗意波长可以由动能和微粒质量表示出

**λ={{h}\over{p}}={{h}\over{\sqrt{2mE}}}

参考资料
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