Miura变换

Miura变换是R.M.Miura等数学家在1968年发现的KdV方程与MKdV方程的变换关系

KdV方程：:u_t-6 u u_x+u_{xxx} = 0

mKdV方程：mKdVEq := v_t-6 v^2 v_x+v_{xxx} = 0

将 Miura 变换u = v^2+v_x代人KdV方程，得

Eqk:2 v v_t+v_{tx}+2 v v_{xxx}-12 v^3 v_x-12 v v_x^2-6 v_{xx} v^2+v_{xxxx} = 0

令
Eqm:2 v mKdVEq + \frac{\partial ( mKdVEq)}{\partial x}=0 得：

Eqm: 2 v v_t+v_{tx}+2 v v_{xxx}-12 v^3 v_x-12 v v_x^2-6 v_{xx} v^2+v_{xxxx} = 0

显然， Eqk 和 Eqm 是相同的。
;利用Miura变换求MKdV方程的解。
KdV方程 的一个平凡解为

u(x,t)=1

代人Miura变换得

v(x, t)^2+v(x, t)_x = 1

解：v(x, t) = \tanh(x+F(t))

其中F(t)为 t 的任意函数。

参考文献