潘勒韦分析

潘勒韦分析原是保罗·潘勒韦在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论，后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中，并发展出几种程序，常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂，需借助Maple、Mathematica等计算机代数系统进行运算

Kruskal 简化法原理
对于给定的 偏微分方程

F(u_{x},u_{t},u_{xx},\cdot\cdot\cdot)=0;

假设其解可展开为Laurent级数形式：

u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty}(uj*\phi^j, j = 0 .. N))/\phi^\rho

设定方程解的首项目可以表示为

u≈\psi^{-\rho}*u_0

代人原式，平衡φ的幂次，得到一个含共振点的递推关系，如果对于任意的u(j)、φ，此递推关系是自相容的，则原来的方程是可积的。

实例
伯格斯方程的潘勒韦分析

sys :=\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}+a u(x, t) \frac{\partial u(x, t)}{\partial x}+b \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = 0

作Laurent级数展开

u(x,t) = \sum_{k=0}^{\infty}(uj\phi^j, j = 0 .. N))/\phi^\rho

其中\phi=x-\psi(t) 和 u_{j}=u_{j}(t) 是非特征奇异点流型x-\psi(t)=0 和 u[0]≠0附近的解析函数。

设定方程解的首项可以表示为

u≈\psi^{-\rho} u_0

代人原式，得到

\rho\phi u[0]\psi[t]-\phi^{-\rho+1} u[0]^2\rho a-\rho(-b-b\rho) u[0]+\phi^2 u[0, t]=0

平衡最高阶微商与非线性项，得到：

ρ=1，u[0] = 2 b/a；

将
u(x, t) = 2b/(a(x-\psi))+u[j]*(x-\psi)^(j-1) 代人偏微分方程，

φ的最低次项为

\phi^{j-3}b(j+1)*(j-2)=0

代入伯格斯方程，

因此 j=-1,2

取 u(x,t)= \sum_{k=0}^{2}\frac{ uj \phi^j)}{\phi} 再带入原方程得：

a\phi^4u[2]^2-(-u[1]a+\psi[t])\phi^3u[2]+\phi^4u[2, t]+\phi^3u[1, t]+\phi^2u[0, t]+(-u[1]a+\psi[t])u[0]\phi-u[0]^2a+2bu[0]

整理后，令其φ 的2次、1次，及常数项为零 得到一组多项式方程组：

u[0, t] = 0, -(u[1]a-\psi[t])u[0] = 0, -u[0](-2b+a*u[0])

伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中，φ、u[2] 是任意函数。

经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数，伯格斯方程乃潘勒韦可积，其解有如下形式：

u(x, t) =\frac{ 2b}{a(x-\psi)}+\frac{\psi[t]}{a}+(x-\psi)*u[2]

参考文献