數學上，超極限是幾何的構造法，對一個度量空間序列Xn指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫－豪斯多夫收斂。
超濾子
在自然數集\mathbb{N}上的超濾子ω，是一個有限可加的集合函數（可視為有限可加測度）\omega:2^{\mathbb N}\to \{0,1\}，從自然數集的冪集2^{\mathbb N}映射到集合{0,1}上，使得\omega(\mathbb N)=1。一個在\mathbb N 上的超濾子ω 稱為非主要的，若對所有有限子集F\subseteq \mathbb N， 都有ω(F)=0。
點序列關於一個超濾子的極限
設ω是\mathbb N 上的非主要超濾子。
若(x_n)_{n\in \mathbb N}是度量空間(X,d)上的點序列，x∈ X，稱x是xn的ω -極限，記為x=\lim_\omega x_n，若對所有\epsilon>0都有
:\omega\{n: d(x_n,x)\le \epsilon \}=1.
不難看出：
- 若一個點序列的ω-極限存在，則是唯一的。
- 若在標準意義下x=\lim_{n\to\infty} x_n ，則x=\lim_\omega x_n 。（這性質成立，關鍵在超濾子是非主要的。）
若(X,d)緊緻，則每個點序列都存在ω-極限。故此，實數的有界序列都存在ω-極限。
有基點度量空間的超極限
設ω是在\mathbb N 上的非主要超濾子。設 (Xn,dn) 是度量空間，有基點pn∈Xn。
考慮序列(x_n)_{n\in\mathbb N}，其中xn∈Xn。這個序列稱為容許的，若實數序列(dn(xn,pn))n有界，也就是存在正實數C，使得 d_n(x_n,p_n)\le C。記容許序列的集合為\mathcal A。
由三角不等式可知對兩個容許序列\mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N}及\mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}，序列(dn(xn,yn))n有界，因此存在ω-極限\hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y):=\lim_\omega d_n(x_n,y_n)。在\mathcal A中定義關係\sim如下：對\mathbf x, \mathbf y\in \mathcal A ，每當\hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y)=0時便有 \mathbf x\sim\mathbf y。易知\sim 是等價關係。
序列(Xn,dn, pn)關於ω的超極限是一個度量空間(X_\infty, d_\infty)，定義如下。
作為集合，有X_\infty=\mathcal A/{\sim}。
對兩個容許序列\mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N}及\mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}的\sim等價類[\mathbf x], [\mathbf y]，定義d_\infty([\mathbf x], [\mathbf y]):=\hat d_\infty(\mathbf x,\mathbf y)=\lim_\omega d_n(x_n,y_n).
不難看到d_\infty有良好定義，且為 X_\infty上的度量。
記(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n, p_n)。
備註
幾何群論
度量幾何
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