阿多米安分解法

阿多米安分解法（Adomian decomposition method，简称：ADM法），是1989年美国籍阿马尼亚数学家George Adomian创建的近似分解法，用以求解非线性偏微分方程

将非线性偏微分方程写成如下形式：

L(u)+R(u)+NL(u)=g(x,t)

其中 L、R为线性偏微分算子，NL为非线性项。 将反算子L^{-1}=\int_{0}^{t}() . 用于上式

L^{-1}L(u)=-L^{-1}R(u)-L^{-1}NL(u)+L^{-1}g(x,t)=.

得

u(x,t)=u(x,0)-L^{-1}NL(u)+L^{-1}g(x,t).

令方程的解u（x,t) 为：

: u = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + \cdots

非线性项

NL（u）=A_{0} +A_{1} + A_{2} +\cdots

其中

:
A_{n} = \frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}\lambda^{n}} f(u(\lambda))\mid_{\lambda=0},

\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}\lambda^{n}} u(\lambda)\mid_{\lambda=0} = n! u_{n}

由此得

:u(x,t)=u(x,0)+L_{-1}g(x,t)
:u_{1}(x,t)=-L^{-1}Ru_{0}-L^{-1}A_{0}

:u_{n}(x,t)=-L^{-1}Ru_{n-1}-L^{-1}A_{n-1}

近似解=u_{0}(x,t)+u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)+u_{3}(x,t)+\cdots

Burgers-Fisher 方程 ADM解
Burgers-Fisher方程：

: \frac{\partial u}{\partial t}+u^2\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^2 u}{\partial u^2}=u(1-u^2)

: u[0] = tanh(x)
:u[1] = -tanh(x)(1-tanh(x)^2)t
:u[2] = -(1/2)t^2tanh(x)(-1+tanh(x)^2)(2-4*tanh(x)^2)
:u[3] = -(1/3)t^3tanh(x)(3-16tanh(x)^2+26tanh(x)^4-13tanh(x)^6-3tanh(x)^2(1-tanh(x)^2)+(2(1-tanh(x)^2))tanh(x)^4)
近似解：

pa := (-1.tanh(x)-82360.tanh(x)^13+73.tanh(x)^3-1195.tanh(x)^5+8233.tanh(x)^7-29990.tanh(x)^9+63510.tanh(x)^15-26980.tanh(x)^17+4862.tanh(x)^19+63850.tanh(x)^11)t^9+(14650.tanh(x)^13-16170.tanh(x)^11+tanh(x)+1430.tanh(x)^17+688.8tanh(x)^5+10230.tanh(x)^9-7102.tanh(x)^15-54.67tanh(x)^3-3672.tanh(x)^7)t^8+(-373.8tanh(x)^5+1491.tanh(x)^7-1.tanh(x)+39.67tanh(x)^3+3333.tanh(x)^11+429.tanh(x)^15-3036.tanh(x)^9-1881.tanh(x)^13)t^7+(132.tanh(x)^13+187.8tanh(x)^5-502.tanh(x)^11+743.5tanh(x)^9-27.67tanh(x)^3+tanh(x)-534.6tanh(x)^7)t^6+(-135.3tanh(x)^9+161.1tanh(x)^7-1.tanh(x)+42.tanh(x)^11-85.13tanh(x)^5+18.33tanh(x)^3)t^5+(-37.tanh(x)^7+33.33tanh(x)^5+14.tanh(x)^9-11.33tanh(x)^3+tanh(x))t^4+(5.tanh(x)^7-10.33tanh(x)^5+6.333tanh(x)^3-1.tanh(x))t^3+(-3.tanh(x)^3+tanh(x)+2.tanh(x)^5)t^2+(-1.tanh(x)+tanh(x)^3)t+tanh(x)

迪姆方程ADM解
迪姆方程：

:u_t = u^3u_{xxx}.\,

:u[0] = cosh(x)
:u[1] = -cosh(x)sinh(x)t
:u[5] = -t^5cosh(x)sinh(x)^5-(20/3)t^5cosh(x)^3sinh(x)^3-(47/15)t^5cosh(x)^5sinh(x)
:

ADM近似：

u（x,t)~pa := (-.5382sinh(10.x)-.7224sinh(8.x)-.2441sinh(6.x)-0.5787e-4sinh(2.x)-0.1693e-1sinh(4.x))t^9+(.4634cosh(9.x)+0.5933e-2cosh(3.x)+.5585cosh(7.x)+.1514cosh(5.x)+0.1356e-5cosh(x))t^8+(-.4063sinh(8.x)-0.8889e-1sinh(4.x)-.4339sinh(6.x)-0.1389e-2sinh(2.x))t^7+(0.1085e-3cosh(x)+0.4746e-1cosh(3.x)+.3647cosh(7.x)+.3391cosh(5.x))t^6+(-0.2083e-1sinh(2.x)-.2667sinh(4.x)-.3375sinh(6.x))t^5+(.3255cosh(5.x)+0.5208e-2cosh(x)+.2109cosh(3.x))t^4+(-.3333sinh(4.x)-.1667sinh(2.x))t^3+(.3750cosh(3.x)+.1250cosh(x))t^2-.5000tsinh(2.*x)+cosh(x)

参考文献