高斯二项式系数

高斯二项式系数 (也称作 高斯系数, 高斯多项式, 或 *q-二项式系数**)在数学里是指二项式系数的q-模拟。

定义
高斯二项式系数被定义为：

{m \choose r}_q
= \begin{cases}
\frac{(1-q^m)(1-q^{m-1})\cdots(1-q^{m-r+1})} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^r)} & r \le m \\
0 & r>m \end{cases}

其中， m 和 r 是非负整数。 当 时值为1。

高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于
:
\binom nk_q.

示例
:{0 \choose 0}_q = {1 \choose 0}_q = 1

:{1 \choose 1}_q = \frac{1-q}{1-q}=1

:{2 \choose 1}_q = \frac{1-q^2}{1-q}=1+q

:{3 \choose 1}_q = \frac{1-q^3}{1-q}=1+q+q^2

:{3 \choose 2}_q = \frac{(1-q^3)(1-q^2)}{(1-q)(1-q^2)}=1+q+q^2

:{4 \choose 2}_q = \frac{(1-q^4)(1-q^3)}{(1-q)(1-q^2)}=(1+q^2)(1+q+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4

性质
和普通二项式系数一样, 高斯二项式系数是中心对称的:

:{m \choose r}_q = {m \choose m-r}_q.

特别地,

:{m \choose 0}_q ={m \choose m}_q=1 \, ,

:{m \choose 1}_q ={m \choose m-1}_q=\frac{1-q^m}{1-q}=1+q+ \cdots + q^{m-1} \quad m \ge 1 \, .

当 时，有

:{m \choose r}_1 = {m \choose r}

参考文献
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications*, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538

• (undated, 2004 or earlier).
• Ratnadha Kolhatkar, [http://www.math.mcgill.ca/goren/SeminarOnCohomology/GrassmannVarieties%20.pdf Zeta function of Grassmann Varieties] (dated January 26, 2004)

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• (2009).