布朗桥

标准布朗桥（英語：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。它是一种连续时间上的随机过程，在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 布朗桥 只是在条件 \scriptstyle [B_{t_1}=a , B_{t_2}=b]下一般化的布朗桥。

定义
标准的布朗桥 \scriptstyle (B_t,t \geq 0)为一个连续时间上的随机过程，它的分布为在条件\scriptstyle B_0=B_1=0下的维纳过程（Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 \scriptstyle (B_{t_1},...,B_{t_n})在条件 \scriptstyle B_1=0下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：
: \forall 0\leq t\leq 1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathbb E[B_t|B_1=0]=0,
: \forall 0\leq s

定义的备注

事件\scriptstyle [B_1=0] 的概率为0。考虑满足
: \forall \varepsilon>0, \mathbb P[|B_1|0.
的事件 \scriptstyle [|B_1|，
我们可以考察条件分布 \scriptstyle \mathbb P[\cdot||B_1|。由依分布收敛可得：
: \mathbb P [\cdot | |B_1|
这给出了布朗桥的一个严格定义。

和其他随机过程的关系
和布朗运动的关系
性质1

设\scriptstyle (W_t,t \geq 0) 为一个维纳过程 (或者布朗运动), 那么过程 \scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) :
: \displaystyle B_t = W_t - t W_1
为一个标准的布朗桥。

相互定义

设 \scriptstyle (B_t, 0 \leq t \leq 1) 为一个标准的布朗桥， Z 是一个正态随机变量，则过程 \scriptstyle (W^1_t,t \geq 0) et \scriptstyle (W^2_t,t \geq 0) :
: W^1_t=B_t+tZ et W^2_t=B_{\frac{t}{T}}+\frac{t}{T}Z
为 \scriptstyle t \in[0,1] 和 \scriptstyle t\in[0,T] 上的维纳过程。

性质 2

设 \scriptstyle (W_t,t\geq 0) 为一个维纳过程, 则过程 \scriptstyle (B_t,0 \leq t\leq 1) ：
: B_t = (1-t)W_{\frac{t}{1-t}}
为一个标准布朗桥。

相互定义

设 \scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) 为一个标准的布朗桥, 那么过程 \scriptstyle (W_t,t \geq 0)：
: W_t=(1+t)B_{\frac{t}{1+t}}
为一个维纳过程。

扩散形式下的表达
也可以认为布朗桥是一种扩散过程。事实上，如果 W 是一种标准的布朗桥，随机方程
:
dX_t=dW_t-\frac{X_t}{1-t}dt

初始条件X_0=0的解和布朗桥同分布。

事实上, X是一个马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。

性质
设\scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) 为标准的布朗桥。

性质3

设 b 为一个实数，
: \mathbb P\left[\hbox{ there is a }t\in[0,1]\hbox{ s.t. }B_t=b\right]=e^{-2b^2}.

性质4

设 b 为一个正实数
: \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} |B_t| \geq b\right]=2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^2b^2}.

性质 5

设a et b 为2个正实数.
: \mathbb P\left[-a

性质6

设 x 为一个正实数
: \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} B_t -\inf_{t\in[0,1]} B_t \geq x\right]=2\sum_{m\geq 1}(4m^2x^2-1)e^{-2m^2x^2}.

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