等幂和差

等幂和差，又称幂和差，指同是n次幂的a与b的和与差，即a^n \pm b^n。

等比数列求和公式的推导
等幂和
当n为奇数时有：

a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum_{r=1}^{n} a^{n-r} (-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})

因尾项必须为+b^{n-1}，故n不能取偶数。

等幂差
首项为1、公比为q的等比数列求和后得出：

\sum_{r=1}^n q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}

设q=\frac{a}{b}，换算后即有：

a^n-b^n=(a-b)\sum_{r=1}^n a^{n-r} b^{r-1} =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})

逆定理
\sum_{r=1}^n a^{n-r} b^{r-1} =a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}

\sum_{r=1}^n a^{n-r} (-b)^{r-1} =a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}=\frac{a^n+b^n}{a+b}

注意\sum_{r=1}^{2n-1} a^{4n-2-2r}b^{2r-2}可进行因式分解，例如：

a^4+a^2 b^2+b^4=\frac{a^6-b^6}{a^2-b^2}=\frac{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}{(a+b)(a-b)}=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

另解：a^4+a^2 b^2+b^4=a^4+2a^2 b^2+b^4-a^2 b^2=(a^2+b^2)^2-a^2 b^2=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

参见
*卢卡斯数列
*等幂求和