正五边形

正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五边形，其內角為108度，是一種正多邊形，在施萊夫利符號中可以用\left\{5\right\}來表示。

边与角
正五邊形的中心角為72度，其具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有5個階（72°、144°、216° 和 288°）。

:{{nowrap|高 = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot邊長\approx 1.539 \cdot邊長}}
:寬 = \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot 邊長\approx 1.618 \cdot邊長
:對角線長 = R\ {\sqrt { \frac {5+\sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R,

其中R為外接圓半徑。

邊長為t的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算：
:A = \frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} = \frac{5t^2 \tan(54^\circ)}{4} \approx 1.720 t^2.

正五邊形不能鑲嵌平面，因為其內角是108°，不能整除360°。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形鑲嵌平面情况，其中不包括正五边形。。

面積公式推導
正多邊形的面積公式為：
:A = \frac{1}{2}Pr

其中，P是周長、r是邊心距。正五邊形的P和r可由三角函數計算：

:A = \frac{1}{2} \times 5t\times \frac{t\tan(54^\circ)}{2} = \frac{5t^2\tan(54^\circ)}{4}

其中，t是正五邊形的邊長。

內切圓半徑
正五邊形是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以尤其邊長來決定。
:r=\frac{t}{2\tan (\frac{\pi}{5})}=\frac{t}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t

其中，r為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。

構造
里士滿提出了一個構造正五邊形的方法，並且在克倫威爾的《多面體》中被進一步討論。。

右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。C為單位圓圓心，M是圓C半徑的中點。D是位於垂直於MC的另外一條半徑的圓周上。作\angle CMD的角平分線，令Q為\angle CMD的角平分線與CD的交點。作過Q平行於MC的直線，令之與圓C相交的交點為P，則DP為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形DCM和QCM。利用勾股定理，較大的三角形斜邊為\frac{\sqrt{5}}{2}\scriptstyle。小三角形其中一股h可由半角公式求得：
:\tan (\frac{\phi}{2}) = \frac{1-\cos(\phi)}{\sin (\phi)} \ ,

其中，角\phi可由大三角形求得，其值為：
:h = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \ .

由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長a可藉由再帶一次勾股定理得：
:a^2 = 1-h^2 \ ; \ a = \frac{1}{2}\sqrt { \frac {5+\sqrt 5}{2}} \ .

欲求出五邊形邊長s可透過左側的三角形，由勾股定理得：
:s^2 = (1-h)^2 + a^2 = (1-h)^2 + 1-h^2 = 1-2h+h^2 + 1-h^2 = 2-2h=2-2\left(\frac{\sqrt 5 - 1}{4}\right) \
::=\frac {5-\sqrt 5}{2} \ .

161x161像素

五邊形邊長s為：

:s = \sqrt{ \frac {5-\sqrt 5}{2}} \ ,

得到了正確的結果因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

約西元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

物理方法
的長條紙張|80x80像素]]
正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結，並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。

参考文献