力矩

在物理学中，力矩（torque，moment of force，moment）是作用力促使物體具有繞著轉動軸或支點轉動的趨向的物理量；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment，moment of rotation）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩\boldsymbol{\tau}\,\!等於径向向量\mathbf{r}\,\!与作用力\mathbf{F}\,\!的叉積。

根據国际单位制，力矩的单位是牛頓米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺\cdot磅。力矩的表示符号是希腊字母\boldsymbol{\tau}\,\!，或\mathbf{M}\,\!。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力\mathbf{F}\,\!、從轉軸到施力點的位移向量\mathbf{r}\,\!、兩個向量之間的夾角\theta\,\!。力矩\boldsymbol{\tau}\,\!以向量方程式表示為
:\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!。

力矩的大小為
:\tau = rF\sin \theta\,\!。

定义
力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。

力矩的方向
力矩是个向量，其方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定，也可以用叉乘求得。假设作用力垂直於杠杆。将右手四指往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的拇指与支点的旋转轴同直线，则拇指指向力矩的方向。

力矩的方程
将此概念推广到更一般的状况，即无杠杆的情况下，如右下圖：

假設作用力\mathbf{F}\,\!施加於位置為\mathbf{r}\,\!的粒子。選擇原點為參考點，力矩\boldsymbol{\tau}\,\!以方程式定義為
:\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!。

力矩大小為
:\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!；

其中，\theta\,\!是兩個向量\mathbf{F}\,\!與\mathbf{r}\,\!之間的夾角。

力矩大小也可以表示為
:\tau = rF_{\perp}\,\!；

其中，F_{\perp}\,\!是作用力\mathbf{F}\,\!對於\mathbf{r}\,\!的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量\mathbf{r}\,\!和作用力\mathbf{F}\,\!。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

與角動量之間的關係
\mathbf{F_g}\,\!的力矩造成角动量\mathbf{L}\,\!的改变。因此，陀螺呈现进动現象。]]
假設一個粒子的位置為\mathbf{r}\,\!，動量為\mathbf{p}\,\!。選擇原點為參考點，此粒子的角動量\mathbf{L}\,\!為
:\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!。

粒子的角動量對於時間的導數為
:\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} \\
& = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \\
& =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\
\end{align}\,\! ；

其中，m\,\!是質量，\mathbf{v}\,\!是速度，\mathbf{a}\,\!是加速度。

應用牛頓第二定律，\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!，可以得到
:\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!。

按照力矩的定義，\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!，所以，
:\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量\mathbf{L}\,\!對於時間t\,\!的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!共同決定角動量的對於時間的變化：
:\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，
:\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!；

其中，I\,\!是物體對於固定軸的轉動慣量，\boldsymbol{\omega}\,\!是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：
:\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!；

其中，\boldsymbol{\alpha}\,\!是物體的角加速度。

单位
力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿\cdot米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际计量局（）规定这次序应是牛顿\cdot米，而不是米\cdot牛顿。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿\cdot米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿\cdot米的力矩，作用1 全转，需要恰巧2\pi\,\!焦耳的能量：
:E= \tau\theta\,\!。

其中，E\,\!是能量，\theta\,\!是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺\cdot磅。

矩臂方程式
在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：
:\boldsymbol{\tau} = (\text{moment arm}) \cdot \textrm{force}\,\!。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置\mathbf{r}\,\!、作用力\mathbf{F}\,\!（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念
当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
:\sum F_x =0\,\!，
:\sum F_y =0\,\!，
:\sum \tau =0\,\!。
这里，F_x,\ F_y \,\!是作用力\mathbf{F}\,\!分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係
假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，
: W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!；

其中，W\,\!是機械功，\theta_1\,\!、\theta_2\,\!分別是初始角和終結角，\mathrm{d}\theta\,\!是無窮小角位移元素。

根據功能定理，W\,\!也代表物體的旋轉動能K_{\mathrm{rot}}\,\!的改變，以方程式表達，
:K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率P\,\!以方程式表達為
: P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理
力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理()（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，
:(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!。

参考文献
延伸阅读
*

參閱
*馬力
*扭力轉換器
*刚体动力学
*機械平衡（）
*扭矩扳手（）
*力矩密度

外部链接
*模擬力矩平衡的[http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Torque.htm Java小程式]
[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m34.pdf Torque and Angular Momentum in Circular Motion *] on [http://www.physnet.org Project PHYSNET].
*[http://www.lorenz-messtechnik.de/english/company/torque_unit_calculation.php Torque Unit Converter]