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互質

Wikipedia · 2025-07-03 维基百科 👁 1 阅读

在數論中，互質（，符號：⊥，又稱-{zh-cn:互质;zh-tw:互素}-）是指如果兩個或兩個以上的整數的最大公因數是1。依此定義：

  • 如果數域是正整數\mathbb{N^+}，那麼1與所有正整數互質。
  • 如果數域是整數 \mathbb{Z}，那麼1和-1與所有整數互質，而且它們是僅有與0互質的整數。

兩個整數與互質，記為a \perp b，也可以依其定义写成\gcd(a, b) = 1或(a,b) = 1。

互質的例子
例如8與10的最大公因數是2，不互質。

又如7、10、13的最大公因數是1，因此互質。

最大公因数可以通过辗转相除法得到。

整集互質與兩兩互質
三个或三个以上的整數互質有两种不同的情况：

  • 這些整數的最大公因數是1，我們直接稱這些整數互質，也稱為整集互質（）。以 \{6,8,9\}為例：\gcd(6, 8, 9) = \gcd(\gcd(6, 8), 9) = \gcd(2, 9) = 1
  • 这些整數是两两互質的（）。以\{7,8,9\}為例：\gcd(7, 8) = \gcd(7, 9) = \gcd(8, 9) = 1 \Rightarrow \gcd(7, 8, 9) = \gcd(\gcd(7, 8), 9) = \gcd(7, \gcd(8, 9)) = \gcd(\gcd(7, 9), 8) = 1

兩兩互質是較為嚴格的互質，如果一個整數集合是兩兩互質的，它也必定是整集互質，但是整集互質不必然是兩兩互質，甚至可能兩兩皆不互質，例如\gcd(6,15,10)=1，是整集互質，但\gcd(6,15)=3、\gcd(15,10)=5、\gcd(10,6)=2，任兩者皆不互質。

性質
性质之一：整数和互質，当且仅当存在整数,，使得xa+yb=1。

一般地，存在整数,使得xa+yb=d，其中是和的最大公因数（贝祖等式）。

判别方法
#两个不同的质数一定互質。例如，2与7、13与19。
#一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数互質。例如，3与10、5与 26。
#1和任何一个自然数都互質。如1和9908。
#相邻两个自然数互質。如15与16。
#相邻两个奇数互質。如49与51。
#较大数是质数，則两个数互質。如97与88。
#两数都是合数（二数差较大），较小数所有的质因数，都不是较大数的因数，这两个数互質。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的因数，故这两数互質。
#两数都是合数（二数差较小），这两数之差的所有质因数都不是较小数的因数，这两个数互質。如85和78。85－78=7，7不是78的因数，故这两数互質。
#两数都是合数，较大数除以较小数的余数（大于“1”）的所有质因数，都不是较小数的因数，則两数互質。如 462与 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是221的因数，故这两数互質。
#輾轉相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，則（255，182）=1。故这两数互質。

參考來源
外部參考

#数论

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