在數學中，史特靈數用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由引入並以其命名，以'和'的稱呼區分。此外，有時候也將**'稱爲第三類史特靈數。

第一類史特靈數
定義
**'可以定義爲對應遞降階乘展開式的各項係數，即
(x)_n=\sum^{n}_{k=0}s(n,k)x^k\,
其中，s(n,k)\,（0\leq k\leq n\,）即爲第一類史特靈數。例如：
:(x)_3=x(x-1)(x-2)\,
則
:(x)_3=0\cdot x^0+2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3\,
於是s(3,0)=0\,，
s(3,1)=2\,，
s(3,2)=-3\,，
s(3,3)=1\,。

由此可知，s(n,k)\,是代數數，或稱爲有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符號史特靈數的絕對值|s(n,k)|\,可以看作（或直接定義爲）把n\,個元素排列成k\,個非空圓圈（循環排列）的方法數目。所以|s(n,k)|\,是算術數，或稱爲無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記爲c(n,k)\,或\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,。例如：把1\,，2\,，3\,三個數排列成0\,個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成1\,個非空圓圈，有\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 2 & & 3\end{matrix}\right)\,，\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 3 & & 2\end{matrix}\right)\,兩種方法；排列成2\,個非空圓圈，有\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right)\,，\left(\begin{matrix}1 & 2\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,和\left(\begin{matrix}1 & 3\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,三種方法；排列成3\,個非空圓圈，有\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,一種方法，所以\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]=2\,，\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]=3\,，\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]=1\,。可以看到這和前面有符號史特靈數s(n,k)\,在n=3\,時的結果一致（只是符號差異）。

與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義爲對應遞進階乘展開式的各項係數，即
:(x)^{\overline n}=\sum^{n}_{k=0}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]x^k\,
其中，\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,（0\leq k\leq n\,）即爲無符號史特靈數。不過要注意，這裏的記號\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,有時候會用來表示高斯二项式系数。

有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係：
:s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,

拓展示例
無符號史特靈數有更多的應用。例如，將n\,個元素分成k\,組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,求得。以\left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right]=11\,爲例：

(A,B)(C,D)

(A,C)(B,D)

(A,D)(B,C)

(A)(B,C,D)

(A)(B,D,C)

(B)(A,C,D)

(B)(A,D,C)

(C)(A,B,D)

(C)(A,D,B)

(D)(A,B,C)

(D)(A,C,B)

或用有向圖表示如下：

遞推關係式
無符號史特靈數有如下遞推關係式：
:\left[\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right]=n\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right]\,
其中，k>0，且初始條件爲
\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,，\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right]=0\,（n>0）。

有符號史特靈數有如下遞推關係式：
:s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)

第一類史特靈數表
下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以通過它們之間的關係式：
:s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,
求得。

簡單性質
觀察前面的“第一類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：

:\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,，\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,（n>0\,）。

如果k>0\,，我們有
:\left[\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right]=0\,；
或更一般地，如果k>n\,，我們有
:\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]=0\,。

還有
:\left[\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right]=(n-1)!\,，
:\left[\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right]=1\,，
:\left[\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right]={n \choose 2}\,，
:\left[\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right]=\frac{1}{4}(3n-1){n \choose 3}\,，
:\left[\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,。

注：這裏記號{n \choose k}\,表示组合数。

其他性質
第二類史特靈數
定義
**'與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義爲
:x^n=\sum^{n}_{k=0}\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}(x)_k\,
其中，\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,即爲第二類史特靈數，也可以記爲S(n,k)\,。例如：
:x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}(x)_0+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}(x)_1+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}(x)_2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}(x)_3\,
即
:x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}x+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}x(x-1)+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2)\,
將遞降階乘展開並合併同類項，得
:x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x^2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x^3\,
比較等式兩邊係數，得
:\begin{cases}\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\
\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1 \end{cases}\,
解得

\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,，\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,，\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,，\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,。

第二類史特靈數計算的是將含有n\,個元素的集合拆分爲k\,個非空子集的方法數目。例如：對於集合\left\{1,2,3\right\}\,，若拆分爲0\,個非空子集，顯然有零種方法；拆分爲1\,個非空子集，只有\left\{1,2,3\right\}\,一種方法；拆分爲2\,個非空子集，有\left\{1\right\}\,\left\{2,3\right\}\,，\left\{1,2\right\}\,\left\{3\right\}\,，\left\{2\right\}\,\left\{1,3\right\}\,三種方法；拆分爲3\,個非空子集，有\left\{1\right\}\,\left\{2\right\}\,\left\{3\right\}\,一種方法。於是\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,，\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,，\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,，\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,。

第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算：
: \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} =\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \left(\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right) (k-i)^n \,

取\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,進行驗算，有
:\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2!}\sum_{i=0}^{2}(-1)^i \left(\begin{matrix} 2 \\ i \end{matrix}\right) (2-i)^3 \,
即
:\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}\right)\times 2^3 - \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\times 1^3 + \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right)\times 0^3\right)\,
於是
:\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left( 1\times 8 - 2\times 1 + 1\times 0\right)=3\,

拓展示例
將n\,個人分成k\,組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1\,組，只能所有人在同一組，因此\left\{\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,；若所有人分成4\,組，只能每人獨立一組，因此\left\{\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}\right\}=1\,；若分成2\,組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即：

{甲, 乙}{丙, 丁}

{甲, 丙}{乙,丁}

{甲, 丁}{乙, 丙}

{甲}{乙, 丙, 丁}

{乙}{甲, 丙, 丁}

{丙}{甲, 乙, 丁}

{丁}{甲, 乙, 丙}

因此\left\{\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right\}=7\,。同理，可以得到\left\{\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}\right\}=6\,。

遞推關係式
第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式：

:\left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\}=k\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right\}\,
其中，k>0，且初始條件爲
\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,，\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right\}=0\,（n>0）。

第二類史特靈數表
下面爲部分第二類史特靈數：

簡單性質
觀察前面的“第二類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：

:\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,，\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,（n>0\,）。

如果k>0\,，我們有
:\left\{\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right\}=0\,；
或更一般地，如果k>n\,，我們有
:\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=0\,。

還有
:\left\{\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,，
:\left\{\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right\}=2^{n-1}-1\,，
:\left\{\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,，
:\left\{\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right\}=1\,，
:\left\{\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right\}={n \choose 2}\,，
:\left\{\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,，
:\left\{\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,。

其他性質
貝爾數和第二類史特靈數有如下關係：

:B_n=\sum_{k=0}^n\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,

兩類之間的關係
第一類和第二類史特靈數可以看作互爲逆矩陣的關係：
:\sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,

以及

:\sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,

其中，\delta_{nk}\,是克羅內克爾δ。

拉赫數
定義
'是由在1954年發現的，因爲拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱爲第三類史特靈數**。可以用遞進階乘和遞降階乘定義爲

:x^{(n)} = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,

或

:(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} L(n,k) x^{(k)}\,

其中， L(n,k)\,即爲拉赫數。例如：

:x^{(3)}=\sum_{k=0}^3 L(3,k) (x)_k\,

即

:x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x-1) + L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,

等式兩邊展開並合併同類項，得

:0\cdot x^0 + 2\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,

比較等式兩邊係數，得

:\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\
{L(3,2)-3L(3,3)=3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,

解得
L(3,0)=0\,，L(3,1)=6\,，
L(3,2)=6\,，L(3,3)=1\,。

或

:(x)_3=\sum_{k=0}^3 (-1)^{3-k} L(3,k) x^{(3)}\,

即

:x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x+1) + L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,

等式兩邊展開並合併同類項，得

:0\cdot x^0 + 2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,

比較等式兩邊係數，得

:\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\
{-L(3,2)+3L(3,3)=-3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,

解得
L(3,0)=0\,，L(3,1)=6\,，
L(3,2)=6\,，L(3,3)=1\,。

以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下：

:x^{(n)} = (-1)^n \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,

或

:(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k L(n,k) x^{(k)}\,

無符號拉赫數計算的是將含有n\,個元素的集合拆分爲k\,個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合\left\{1,2,3\right\}\,，若拆分爲0\,個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分爲1\,個非空線性有序子集，有\left\{(1, 2, 3)\right\}\,，\left\{(1, 3, 2)\right\}\,，\left\{(2, 1, 3)\right\}\,，\left\{(2, 3, 1)\right\}\,，\left\{(3, 1, 2)\right\}\,，\left\{(3, 2, 1)\right\}\,六種方法；拆分爲2\,個非空線性有序子集，有\left\{(1)\right\}\,\left\{(2, 3)\right\}\,，\left\{(1)\right\}\,\left\{(3, 2)\right\}\,，\left\{(2)\right\}\,\left\{(1, 3)\right\}\,，\left\{(2)\right\}\,\left\{(3, 1)\right\}\,，\left\{(3)\right\}\,\left\{(1, 2)\right\}\,，\left\{(3)\right\}\,\left\{(2, 1)\right\}\,六種方法；拆分爲3\,個非空線性有序子集，有\left\{(1)\right\}\,，\left\{(2)\right\}\,，\left\{(3)\right\}\,一種方法。於是L(3,0)=0\,，L(3,1)=6\,，
L(3,2)=6\,，L(3,3)=1\,。

無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：

: L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,

有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：

: L'(n,k) = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,

拓展示例
遞推關係式
無符號拉赫數有如下遞推關係：

: L(n,k+1) = \frac{n-k}{k(k+1)} L(n,k)

或

: L(n+1,k) = (n+k) L(n,k) + L(n,k-1)\,

其中，L(n,0)=0\,，L(n,0)=0\,，L(n,k)=0\,（k>n\,），L(1,1)=1\,

拉赫數表
下面爲部分無符號拉赫數：

簡單性質
觀察前面的“拉赫數表”，我們可以得到一些簡單性質：

L(0,0)=1，
L(n,0)=0（n>0）

如果k>n，有
L(0,0)=1，L(n, k)=0

還有
: L(n,1) = n!
: L(n,2) = \frac{(n-1)n!}{2}
: L(n,3) = \frac{(n-2)(n-1)n!}{12}
: L(n,n-1) = n(n-1)
: L(n,n) = 1
:\sum_{n\geq k}L(n,k)\frac{x^n}{n!}= \frac{1}{k!}\left( \frac{x}{1-x} \right)^k

其他性質
無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展：

: L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!} = {n \choose k} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} = {n \choose k} {n-1 \choose k-1} (n-k)!

: L(n,k) = \frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!}\cdot\frac{1}{(n-k)!} = \left (\frac{n!}{k!} \right )^2\frac{k}{n(n-k)!}

無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下：

:L(n,k)=\sum_{j=0}^n \left[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}\right\}\,

取L(3,2)\,進行驗算，有

:L(3,2)=\sum_{j=0}^3 \left[\begin{matrix} 3 \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ 2 \end{matrix}\right\}\,

即

:L(3,2)= \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,

於是

:L(3,2)=\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\times1+1\times3=6\,

由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有

:\sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,