調和數

調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上，第n個調和數是首n個正整數的倒數和，即

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的n倍。它可以推廣到正整數的倒數的冪之和，即H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}。

調和級數的性質
根據定義，調和數滿足遞推關係

H_{n+1} = H_{n} + \frac{1}{n+1}

它也滿足恆等式

\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n

計算
對於第n項調和數，有以下公式

H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.

設:x = 1 - u\,\!，由此得到

:\begin{align}
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \\
&=-\int_1^0\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom nk u^{k-1}\right]\,du \\
&= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \int_0^1u^{k-1}\,du \\
&= \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk .
\end{align}

對於調和數H_n，當n不是太大時，可以直接計算。

當n特別大時，可以進行估算。

因為 \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right) = \gamma，

其中 \gamma \approx 0.5772156649 称为欧拉-马斯刻若尼常数，

由此得到

H_n \sim \ln{n}+\gamma

當n越大時，估算越精確。

更精確的估算是

H_n \sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,

其中B_k是第k項伯努利數。

廣義調和數
廣義調和數滿足

H_\alpha = \int_0^1\frac{1-x^\alpha}{1-x}\,dx\, .

由此，我們得到

: H_{\frac{3}{4}} = \tfrac{4}{3}-3\ln{2}+\tfrac{\pi}{2}
: H_{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2}(1-\ln{3})+\sqrt{3}\tfrac{\pi}{6}
: H_{\frac{1}{2}} = 2 -2\ln{2}
: H_{\frac{1}{3}} = 3-\tfrac{\pi}{2\sqrt{3}} -\tfrac{3}{2}\ln{3}
: H_{\frac{1}{4}} = 4-\tfrac{\pi}{2} - 3\ln{2}
: H_{\frac{1}{6}} = 6-\tfrac{\pi}{2} \sqrt{3} -2\ln{2} -\tfrac{3}{2} \ln{3}
: H_{\frac{1}{8}} = 8-\tfrac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \tfrac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right\}
: H_{\frac{1}{12}} = 12-3\left(\ln{2}+\tfrac{\ln{3}}{2}\right)-\pi\left(1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\sqrt{3}\ln \left (\sqrt{2-\sqrt{3}} \right )

對於任意兩個正整數p和q，並且p＜q，我們有

: H_{\frac{p}{q}} = \frac{q}{p} +2\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{q-1}{2}\rfloor} \cos(\frac{2 \pi pk}{q})ln({\sin (\frac{\pi k}{q})})-\frac{\pi}{2}cot(\frac{\pi p}{q})-ln({2q})

微積分
對於每一個大於0的x，有

H_{x} = x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(x+k)}\, .

由此，得

\int_0^1H_{x}\,dx = \gamma\, ,

對於每一個n，有

\int_0^nH_{x}\,dx = \ln{(n!)}+n\gamma\, .

其他數列
根據定義，其他類似于調和數的數列有以下計算方法：

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \psi (n + 1) + \gamma

\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left[\psi \left(n + \frac{3}{2}\right) + \gamma \right] + \ln{2}

\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = \frac{H_n}{2}