多项式定理

多项式定理为二项式定理的推广。t=2 时为二项式定理。

(x_1+x_2+\cdots+x_t)^n=\sum\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_t!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}

其中 n_1+n_2+\cdots+n_t=n、0\le n_i\le n

n_1,n_2, n_3 \cdots n_t 是指一切满足上述条件的非负数组合。
由隔板法可知该多项式展开共有 \frac{(n+t-1)!}{n!(t-1)!} 项。

证明
数学归纳法
对元数t做归纳：
当t=2时，原式为二项式定理，成立。 假设对t-1元成立，则：
:\left ( x_1+x_2+\cdots+x_t \right )^{n}
::= ((x_1+x_2+\cdots+x_{t-1})+x_t)^{n}
::= \sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\left ( x_1+x_2+\cdots+x_{t-1} \right )^{n-n _t}x_t^{n _t}
::= \sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\sum_{n_1+n_2+\cdots+n _{t-1}=n-n _t}\frac{\left ( n-n _t \right )!}{n _1!\cdots n _{t-1}!}x_1^{n _1}\cdots x_{t-1}^{n _{t-1}}x_t^{n _t}
::= \sum_{n_1+n_2+\cdots+n _t=n}\frac{n!}{n _1!\cdots n _t!}x_1^{n _1}\cdots x_t^{n _t}
::证毕.

组合法
从n_1+n_2+\cdots+n_t=n中选n_i个x_i：

\displaystyle \binom{n}{n_1} \binom{n-n_1}{n_2} \binom{n-n_1-n_2}{n_3} \cdots \binom{n-n_1-n_2-\cdots-n_{t-1}}{n_t}

= \frac{n!(n-n_1)!(n-n_1-n_2)!\cdots(n-n_1-n_2-\cdots-n_{t-1})!}{n_1!(n-n_1)!n_2!(n-n_1-n_2)!n_3!(n-n_1-n_2-n_3)!\cdots n_t!(n-n_1-n_2-\cdots-n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!}

证毕.

参见
*二项式定理
*多项式

参考资料