渐近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下：
*在计算机科学中，算法分析考虑给定算法在输入非常大的数据集时候的性能。
*当實體系統的规模变得非常大的时候，分析它的行为。
最简单的例子如下：考虑一个函数f(n)，我们需要了解当n变得非常大的时候f(n)的性质。
令f(n) = n^{2}+3n，在n特别大的时候，第二项3n比起第一项n^2要小很多。
于是对于这个函数，有如下断言：「f(n)在n\rightarrow \infty的情况下与n^2渐近等价」，记作f(n)\sim n^2。
渐近等价
定义：给定关于自然数n的复函数f和g，
命题f(n)\sim g(n) \mbox{ } (n\rightarrow \infty)表明（使用小o符号）
f(n) = g(n) + o(g(n)) \mbox{ } (n\rightarrow \infty)
或（等价记法）
f(n) = (1+o(1))g(n) \mbox{ } (n\rightarrow \infty) 。
这说明，对所有正常数\epsilon，存在常量N，使得对于所有的n \geqslant N有
|f(n) - g(n)| \leqslant \epsilon |g(n)|。
当g(n)不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作
\lim_{n{\rightarrow}\infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1。
渐近等价是一个关于n的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数f的等价类包含所有在极限情况下近似等于f的函数g。
渐近展开
函数f(x)的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示f(x)的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。
相關條目
*
*
參考注釋
外部連結
- J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). [http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/boydactaapplicreview.pdf Preprint] .
评论 (0)