茶年 · 中文维基百科

圆锥曲线

Wikipedia · 2026-05-29 维基百科 👁 1 阅读

圆锥曲线（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲线，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率e）的点的集合是圆锥曲线。对于0得到椭圆，对于e=1得到抛物线，对于e>1得到双曲线。

定义
设F为定点，l为定直线，e为正常数，称满足\frac=e的动点P的轨迹为圆锥曲线。

其中F为其焦点，l为准线，e为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为\rho=e(d-\rho\cos\theta)或\rho=\frac{ed}{1\pm e\cos\theta}（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。
其中\theta为PF与极轴的夹角，d为定直线x=d，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，
:当e=1时，曲线为抛物线。
:当e\neq 1时，
::当0时，曲线为椭圆。
::当e>1时，曲线为双曲线。

圆锥曲线的类型
椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质
椭圆
椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线
抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线
双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。

离心率
对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是a/e \ ，这里的a \ 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是ae \ 。

在圆的情况下，e=0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的a \ ，e \ 越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标
在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式
:
Q(x,y) = Ax^2+Bx y+Cy^2+Dx+Ey+F=0
:此處參數A\,，B\,和C\,不得皆等於0 \ 。

矩陣表示
上述方程可以使用矩陣表示爲

: \left [\begin{matrix}x & y \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}D & E \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] +F= 0

亦可以寫作

: \left[\begin{matrix}x & y & 1\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right] = 0

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記A_{3 3} = \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right] ，記
A_Q =
\begin{bmatrix}
A & B/2 & D/2 \\
B/2 & C & E/2 \\
D/2 & E/2 & F
\end{bmatrix}
。

類別
藉由A_Q，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

  • 若\det (A_Q) = 0，則圓錐曲線Q退化。
  • 若\det (A_Q) \neq 0，則圓錐曲線Q未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

  • 若 \det (A_{3 3}) > 0 , 方程表示一個橢圓；

** 對於橢圓，當(A + C) \det (A_Q) 時，Q爲一個實橢圓；當(A + C) \det (A_Q) > 0時Q爲一個虛橢圓。（例如，2x^2 + y^2 + 10 = 0 沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
** 特別的，若A=C ，B=0且D^2+E^2-4AF>0\,，作爲橢圓的特殊情況，Q表示一個圓。

  • 若 \det (A_{3 3}) = 0 ，Q表示一條拋物線；
  • 若 \det (A_{3 3}) ，Q表示一條雙曲線；

** 若A+C=0 ，Q表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

  • 若\det (A_{3 3}) > 0，作爲橢圓的退化，Q爲一個點。
  • 若\det (A_{3 3}) = 0，作爲拋物線的退化，Q爲兩條平行直線。

** 若D^2+E^2>4(A+C)F，Q爲兩條不重合的平行直線。
** 若D^2+E^2=4(A+C)F，Q爲兩條重合直線。（特別的，此時A_Q的秩爲1）
** 若D^2+E^2，Q為兩條虛直線。

  • 若\det (A_{3 3}) ，作爲雙曲線的退化，Q爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，A和B爲多項式係數，而非半長軸A和半短軸B。

不變量
矩陣A_Q、 A_{3 3} 的行列式，以及A+C（ A_{3 3} 的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。 若 \det (A_{3 3}) = 0 ，Q爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設Q表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

:e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},

此處若\det (A_Q) 爲負則\eta=1；若\det (A_Q) 爲正則\eta=-1。

此外，離心率e也是下述方程的一個正根

:\Delta e^4+[(A+C)^2-4\Delta]e^2-[(A+C)^2-4\Delta]=0,

此處 \Delta =\det (A_{3 3}) 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程
對於橢圓或雙曲線，Q可用變換後的變量 x', y'表示爲如下所示的標準形式

: \frac{x'^2}{-S / \lambda_1^2\lambda_2}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_1\lambda_2^2}=1,

或等價的

:\frac{x'^2}{-S / \lambda_1\Delta}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_2\Delta}=1,

此處，\lambda_1和\lambda_2爲A_{3 3}的特徵值，也即下述方程的兩根：

:\lambda^2-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^2) =0

同時，S = \det (A_Q) ，\Delta=\lambda_1\lambda_2=\det (A_{3 3}) 。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

极坐标
圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为\ell，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴a，和半短轴b，通过公式a\ell=b^2 \ 或\ell=a(1-e^2) \ 。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程
: r = {\ell \over (1 - e \cos \theta) }，

或者，

: \frac{1}{r} = \frac{1}{\ell}(1 - e \cos \theta)，

如上，对于e=0得到一个圆，对于0得到椭圆，对于e=1得到抛物线，对于e>1得到双曲线。

齐次坐标
在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

:A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;

或表示为矩阵：

: \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0

矩阵M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}叫做“圆锥曲线矩阵”。

\Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix} 叫做圆锥曲线的行列式。如果\Delta=0则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 退化为两相交直线： \{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:
\{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}。

\delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix} 被称为圆锥曲线的判别式。如果\delta=0则圆锥曲线是抛物线，如果\delta则是双曲线，如果\delta>0则是椭圆。如果\delta>0且A_1=A_2，圆锥曲线是圆；如果\delta且A_1=-A_2，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面\mathbb{CP}^2中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根>1的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是(1,i,0)和(1,-i,0)，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

参考文献
外部链接

*
*
*

#圆锥曲线 #数学概念

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。