立方体堆砌

{{Infobox polytope
| name = 立方体堆砌
| imagename = Partial cubic honeycomb.svg
| imagename2 = Cubic honeycomb.png
| caption2 = 線架圖
| polytope = 立方体堆砌 立方蜂巢體
| Type = 正堆砌
| group_type = 立方形堆砌
| Index_references = J11,15, A1
W1, G22
| Index_references_ref = For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
| Dimension = 3
| dim =
| count =
| Cell = {4,3}
棱处相交胞：4×{4,3}
顶点处相交胞：8×{4,3}
| Face = {4}
棱处相交面：4×{4}
顶点处相交面：12×{4}
| Edge = ∞
顶点处相交棱：6
| Vertice_type = （正八面体）
| Coxeter_diagram =
| Euler = 0
| analogy = 正方形鑲嵌
| convex =
| Symmetry_group = {\tilde{C}}_4
| Space_group = Pmm
| Fibrifold = 4−:2
| Coxeter_notation = [4,3,4]
| Coxeter_group = {\tilde{C}}_3, [4,3,4]
| Properties =
}}
立方体堆砌（Cubic Honeycomb）是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有{\tilde{C}}_n对称性，有施莱夫利符号形式。

性質
立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。
頂點坐標
。]]
立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：
::(i, j, k)
:對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。

正交投影
相關堆砌
立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

自然界中的立方体堆砌
(NaCl)的晶体结构：面心立方晶格。]]
作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。
簡單立方晶格
簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

表面著色
作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有{\tilde{C}}_4对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pmm空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

相關多面體和鑲嵌
立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

考克斯特群[4,31,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。

立方體堆砌是{\tilde{A}}_3考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

参考

• H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
• Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]

* (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I*, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)

• A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.

*

• [http://polyhedra.doskey.com/UniformHoneycombs.html Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon]