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平移

Wikipedia · 2020-10-09 维基百科 👁 1 阅读

导致是平移的总和运动。]]
在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。

它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若\mathbf{v}是一個已知的向量，\mathbf{p}是空間中一點，平移T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即T_{\mathbf{v}}(T_{\mathbf{u}}(\mathbf{p}))=T_{\mathbf{v}+\mathbf{u}}(\mathbf{p})，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正规子群。

T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

矩陣表示
例如在三維空間，使用齐次坐标，T_{\mathbf{v}}可用矩陣表示為

: T_{\mathbf{v}} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
。

平移的結果T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})就是

:T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=T_{\mathbf{v}}\mathbf{p}=
\begin{bmatrix}
p_x+v_x \\
p_y+v_y \\
p_z+v_z \\
1
\end{bmatrix}
。

平移的逆矩陣： T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果： T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} 。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

參見

  • 平移運動
  • 平移對稱
  • 變換矩陣
  • 反射
  • 旋转
  • 反演
  • 点反演
  • 缩放

外部連結

#欧几里得几何 #欧几里得对称

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