自我迴歸模型

自我迴歸模型（，簡稱AR模型），是統計上一種處理時間序列的方法，用同一變數例如x的之前各期，亦即x_{1}至x_{t-1}來預測本期x_{t}的表現，並假設它們為一線性關係。因為這是從迴歸分析中的線性迴歸發展而來，只是不用x預測y，而是用x預測x（自己）；因此叫做自我迴歸。它可用於描述來自多種自然和人工來源的時變過程。該模型指定了輸出變量，這些變量在隨機基礎上線性依賴其自身的先前值。此模型採隨機差分方程（或遞推關係）的形式，切勿將其與微分方程混淆。它與移動移动平均 (MA) 模型一起，構成了更一般的自我迴歸滑動平均模型 (ARMA) 和自回归单整移动平均模型 (ARIMA) 時間序列模型的特例和關鍵組成部分，這些模型具有更複雜的隨機結構；它也是向量自回歸 (VAR) 模型的特例，VAR 模型由多個相互關聯的隨機差分方程組成，涉及多個隨機變數的變化。

另一個重要的擴展是時變自回歸（TVAR）模型，其中自回歸係數允許隨時間變化，以模擬演化或非平穩過程。 TVAR 模型廣泛應用於系統底層動態並非恆定的情況，例如感測器時間序列建模、氣候科學、經濟和金融（如計量經濟學）、信号处理、電信、雷達系統和生物信号。

尽管大型語言模型被稱為自我迴歸模型，但從這個意義上講，不被認為是經典的自回歸模型，因為它們不是線性的。

自迴歸模型被廣泛運用在經濟學、資訊學、自然現象的預測上。

定義
符號AR(p)表示p階自迴歸模型。 AR(p)模型定義如下：

X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,

其中：c是常數項；\varepsilon_t被假設為平均數等於0，標準差等於\sigma的隨機誤差值；\varepsilon_t被假設為對於任何的t都不變。

文字敘述為：X的當期值等於一個或數個前期值的線性組合，加常數項，加隨機誤差。

優點與限制
自我迴歸方法的優點是所需資料不多，可用自身變數數列來進行預測。但是這種方法受到一定的限制：
#必須具有自我相關，自相關係數（\varphi_i）是關鍵。如果自相關係數(R)小於0.5，則不宜採用，否則預測結果極不準確。
#自我迴歸只能適用於預測與自身前期相關的經濟現象，即受自身歷史因素影響較大的經濟現象，如礦的開採量，各種自然資源產量等；對於受社會因素影響較大的經濟現象，不宜採用自我迴歸，而應改採可納入其他變數的向量自迴歸模型。

相關條目

• 向量自迴归模型（VAR模型）
• 移动平均模型 （MA模型）
• 自迴歸滑動平均模型（ARMA模型）
• 差分自迴歸滑動平均模型（ARIMA模型）
• 格蘭傑因果關係（Granger Causality）
• 无限冲激响应
• 共振

参考资料
外部鏈接

• [http://paulbourke.net/miscellaneous/ar/ 自迴歸分析（AR）] by Paul Bourke
• by Mark Thoma