在幾何學中，五角二十四面體是一種卡塔蘭多面體，由24個全等的不等邊五邊形組成，其對偶多面體為扭棱立方體，共有24個面、60個邊和38個頂點、五角偏方三八面體或偏菱五角二十四面體，部分的礦石可以結晶成這種形狀，例如赤銅礦——化學成份為氧化亞銅（Cu2O）的氧化物礦物可以結晶成五角二十四面體。

性質
五角二十四面體是一個，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有24個面、60個邊、38個頂點。

五角二十四面體的對偶多面體為扭棱立方體，換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭棱立方體每個面的幾何中心、扭棱立方體的每個頂點可以對應到五角二十四面體的幾何中心。
:

面的組成
五角二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成，即：
: 短邊:長邊=1:\frac{1}{2}+\frac{t}{2}
其中，t為，即：
: \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3} = \frac{1+4\cosh\left(\frac{1}{3}\cosh^{-1}\left(2+\frac{3}{8}\right)\right)}{3} \approx 1.839286755214161,
這個數為x^3 - x^2 - x - 1 = 0的實根。
:
這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（\arccos{\left( 2-t\right)}約為80.75度）；其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（\arccos{\left( \tfrac{1}{2}-\tfrac{t}{2}\right)}約為114.81度）。

變體
五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有3種不同的邊長。這種變體可以透過在扭棱立方體的6個正方形與8個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造。

相關多面體及鑲嵌
五角二十四面體的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性，其他同為(n32)旋轉對稱性的幾何結構有：

關於的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性的五角二十四面體，是一個哈密顿图。
性質
五角二十四面體圖有60條邊和38個頂點，其中度為3的頂點有32個；度為4的頂點有6個。這個圖的直徑是7，半徑是6。換句話說五角二十四面體圖在不考慮循環路徑下頂點間最大距離只少相距6個頂點，最長距離不超過7個頂點。五角二十四面體圖的圍長為5，即在這個圖內最小的循環路徑為5個頂點。

*五角二十四面體圖的特徵多項式為：
*:(x-2)^2 (x-1)^3 x (x^2-x-7) (x^2+x-3) (x^2+2 x-1)^2 (x^3-4 x+1)^3 (x^5+x^4-8 x^3-9 x^2+7 x+4)^3

參見
*卡塔蘭立體
*對偶多面體

參考文獻

(Section 3-9)

外部連結
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