闭值域定理

闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理，给出了闭合稠定线性算子（）的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）一文中给出了证明。

设X与Y为巴拿赫空间，若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子，它的定义域D(X)在X中稠密，而\scriptstyle{T'}是它的转置算子。则定理指出，如下四个结论等价：

• \scriptstyle{T}的值域（像）\scriptstyle{\operatorname{Im}(T)}是\scriptstyle{Y}中的闭集。
• \scriptstyle{T'}的值域\scriptstyle{\operatorname{Im}(T')}是\scriptstyle{X}的对偶空间\scriptstyle{X'}中的闭集。
• \operatorname{Im}(T) = \operatorname{Ker}(T')^\perp=\{y\in Y | \langle x^,y\rangle = 0\quad \forall \quad x^\in \operatorname{Ker}(T')\}
• \operatorname{Im}(T') = \operatorname{Ker}(T)^\perp=\{x^\in X' | \langle x^,y\rangle = 0\quad \forall \quad y\in \operatorname{Ker}(T)\}.

此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个稠定线性算子T使得Im(T) = Y。相似地，当且仅当T存在连续的逆算子时，\scriptstyle{\operatorname{Im}(T') = X'}。

另见

• 线性代数基本定理

参考来源
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