时不变系统

非時變系統（time-invariant system）又称-{zh-cn:非时变系统;zh-tw:時不變系統}-、定常系统，是输出不會直接隨著时间变化的系统。

在控制理论中，时不变（time-invariant, TI）系统的系统函数（system function）虽具有随时间变化的特性，但它并不是时间的显函数。在系统分析领域，这类系统被视为一类特定的系统。随时间变化的系统函数是随时间变化的输入函数（input function）的函数。如果该函数仅间接地依赖于时域（例如仅通过输入函数产生关联），那么该系统即被视为“时不变系统”。相反，系统函数对时域的任何直接依赖关系，都可以被视为“时变系统”（time-variant system）。

:如果输入信号x(t)产生输出y(t)，那么对于任意时间延遲的输入x(t + \delta)将得到相同时间延遲的输出y(t + \delta)。

如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述

:如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

简单例子
为了表明如何确定系统是时不变系统，以下來看两个系统：

• 系统A：y(t) = t\, x(t)
• 系统B：y(t) = 10\cdot x(t)

由于系统A除了x(t)与y(t)之外还显式地依赖于t所以它是时变系统，而系统B没有显式地依赖于时间t所以它是时不变的。

正式例子
下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明，需要使用第二个定义。

系统A：
:使用延时的信号作为输入x_d(t) = \,\!x(t + \delta)
::y(t) = t\, x_d(t)
::y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)
:那么输出延时\delta
::y(t) = t\, x_d(t)
::y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)
:很显然y_1(t) \,\!\ne y_2(t)，所以系统是时变系统（time-varying）。

系统B:
:以延时的信号作为输入x_d(t) = \,\!x(t + \delta)
::y(t) = 10 \, x_d(t)
::y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)
:现在输出延时\,\!\delta
::y(t) = 10 \,x_d(t)
::y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)
:显然y_1(t) = \,\!y_2(t)，所以系统是非時變（time-invariant）的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

抽象例子
用\mathbb{T}_r表示移位算子，其中r是矢量变址组需要移位的数值，例如“前进1步”的系统

:x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)

可以用这个抽象表示

:\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}

其中\tilde{x}是

:\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

以及产生系统移位输出

:\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

所定义的函数，这样\mathbb{T}_1就是输入矢量增加1的算子。

假设用算子\mathbb{H}表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

:\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \,\, \forall \, r

如果系统方程是

:\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}

并且如果可以将系统算子\mathbb{H}首先对\tilde{x}进行运算，然后再用移位算子\mathbb{T}_r进行运算，或者首先用移位算子\mathbb{T}_r，然后再用系统算子\mathbb{H}进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

:\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r

首先用移位算子将得到

:\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r

如果系统是时不变的，那么

:\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r

平移不變系統
平移不變系統（shift invariant system）是时不变系统對應離散時間下的版本，定義為若y(n)是系統對輸入x(n)的響應，則y(n–k)是系統對輸入x(n–k)的響應。在平移不變系統中，某一輸入產生的響應和當時的時間無關，時間平移不會影響系統特性，

因為數位系統不需要滿足因果关系，可以用數位系統實現一些離散類比元件無法達成的事物。例如可以創建需參考有限個未來數值的数字滤波器，這是類比系統無法作到的。

参见
*有限脉冲响应
*线性时不变系统理论
*
*状态空间
*系统分析
*時變系統

参考