sinc函数（）是一種函數，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號 \mathrm{sinc}(x)\, 表示這種函數。
sinc函数可以被定義为归一化的或者非归一化的，不過兩種函數都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积：

在數碼訊號處理;}-和通信理论中，人們把归一化sinc函数定义为

#:對於所有，\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}

在数学领域中，人們以前使用的非归一化sinc函数 （for sinus cardinalis）被定义为

#:對於所有， \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}

在这两种情况下，當x=0時sinc函数的值被定义为以下的極限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。
:對於任何實數 ，\operatorname{sinc}(0):=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(a x)}{a x}= 1

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。

属性
归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：

• 对于 k\ne 0\, 与 k\in\mathbb{Z}\,（整数），\mathrm{sinc}(0) = 1\, 和 \mathrm{sinc}(k) = 0\,；也就是说，它是一个插值函数。
• 函数 x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \ 在函数空间 L^2(\R) 形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是 \omega_\mathrm{H}=\pi\, ，也就是说最大的循环频率是 f_\mathrm{H}=1/2\,。

这两个 sinc 函数的其它特性包括：

• 非归一化 sinc 函数 \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, 的导数是 0 ，即在 x = a\, 有极值，那么 \begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \, 。
• 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,。归一化 sinc 是 j_0(\pi x)\,。
• 非归一化 sinc 的过零点是 \pi\, 的非零倍数；归一化 sinc 函数  \mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,   的过零点出现在非零整数。
• 归一化 sinc 函数  \mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,   的对于普通频率的连续傅里叶变换是  \mathrm{rect}(f)\,。

::\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f),
: 其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。

• 积分

::\int_{-\infty}^\infty \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, dx = 1
: 是广义积分。因为：
::\int_{-\infty}^\infty \left|\begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\right|\ dx = \infty \,
所以它不是勒貝格積分。

• \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)
• \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)} = \frac{1}{x! (-x)!}

: 其中 \Gamma(x) 是 Γ函数。

与狄拉克δ分布的关系
尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

:\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).

由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的緊支撐平滑函数 \varphi(x) 有

:\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
=\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0),

在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。

参见

• 抗混叠
• Sinc滤波器

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• 波尔文积分

参考文献
外部链接
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