唯一素数（）是指一個不為2、5（在十進位時），且有以下性質的質數p：不存在其他質數q，其倒數1 / q的循环節長度和1 / p的循环節長度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates所提出。
可以證明素数p其倒數的循环節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：
:\frac{\Phi_n(10)}{\gcd(\Phi_n(10),n)} = p^c
其中Φn(x)為n次的分圓多項式。至2010年為止，已經找到逾50個唯一素数或者有此性質的可能質數，但是小於10100的唯一素数-{只}-有23個。以下是這些唯一素数及其循环節位數：
倒數循环節長度
素数
1
3
2
11
3
37
4
101
10
9,091
12
9,901
9
333,667
14
909,091
24
99,990,001
36
999,999,000,001
48
9,999,999,900,000,001
38
909,090,909,090,909,091
19
1,111,111,111,111,111,111
23
11,111,111,111,111,111,111,111
39
900,900,900,900,990,990,990,991
62
909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120
100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150
10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106
9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93
900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134
909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294
142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196
999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001
倒數循环節長度294位的唯一素数類似7的倒數（0.142857142857142857...）。
接續上表的第24個唯一素数有128位，倒數循环節長度為320位，可以寫成(932032)2+1，其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現n次。
所有循環單位素数都是唯一素数。依照循環單位素数及循環單位可能素數出現的頻率來看，唯一素数非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素数。
至2010年為止，循環單位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数。
至1996年為止，確定是質數的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為(99990000)141+ 1，其倒數循环節長度為為2264位，後來陸續證明更大的唯一素数，至2010年為止，確定是質數的最大唯一素数有10081位數。
二進制中的唯一質數
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... ：
其循環節長度分別為：
2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......：
這當中包含了所有費馬質數(循環節長度為2的乘方)，梅森質數(循環節長度為質數)及瓦格斯塔夫質數(循環節長度為奇質數的兩倍)
以下為不超過264之二進制唯一質數列表：
倒數循环節長度
素数
二進位表示法
2
3
11
4
5
101
3
7
111
10
11
1011
12
13
1101
8
17
1 0001
18
19
1 0011
5
31
1 1111
20
41
10 1001
14
43
10 1011
9
73
100 1001
7
127
111 1111
15
151
1001 0111
24
241
1111 0001
16
257
1 0000 0001
30
331
1 0100 1011
21
337
1 0101 0001
22
683
10 1010 1011
26
2,731
1010 1010 1011
42
5,419
1 0101 0010 1011
13
8,191
1 1111 1111 1111
34
43,691
1010 1010 1010 1011
40
61,681
1111 0000 1111 0001
32
65,537
1 0000 0000 0000 0001
54
87,211
1 0101 0100 1010 1011
17
131,071
1 1111 1111 1111 1111
38
174,763
10 1010 1010 1010 1011
27
262,657
100 0000 0010 0000 0001
19
524,287
111 1111 1111 1111 1111
33
599,479
1001 0010 0101 1011 0111
46
2,796,203
10 1010 1010 1010 1010 1011
56
15,790,321
1111 0000 1111 0000 1111 0001
90
18,837,001
1 0001 1111 0110 1110 0000 1001
78
22,366,891
1 0101 0101 0100 1010 1010 1011
62
715,827,883
10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
31
2,147,483,647
111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
80
4,278,255,361
1111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001
120
4,562,284,561
1 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001
126
77,158,673,929
1 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001
150
1,133,836,730,401
1 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001
86
2,932,031,007,403
10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
98
4,363,953,127,297
11 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001
49
4,432,676,798,593
100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001
69
10,052,678,938,039
1001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111
65
145,295,143,558,111
1000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111
174
96,076,791,871,613,611
1 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
77
581,283,643,249,112,959
1000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111
93
658,812,288,653,553,079
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111
122
768,614,336,404,564,651
1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
61
2,305,843,009,213,693,951
1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
85
9,520,972,806,333,758,431
1000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111
192
18,446,744,069,414,584,321
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
參考資料
外部連結
- [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=UniquePrime The Prime Glossary: Unique prime]
- [http://primes.utm.edu/lists/top_ten/topten.pdf Prime Top Tens]
- [http://www.utm.edu/staff/caldwell/preprints/unique.pdf Unique Period Primes]
- [https://web.archive.org/web/20140506094456/http://mada.la.coocan.jp/nrr/repunit/ Factorization of 11...11 (Repunit)]
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