非互補歐拉商數（）是指一個正整數n，不存在任一個整數m使下式成立：
:
m - \varphi(m) = n,
其中\varphi(m)表示歐拉函數（totient function），是小於m的正整數中和m互質整數的個數。m-\varphi(m)稱為m的互補歐拉商數（cototient）。例如小於6的正整數中，和6互質的只有二個數字1、5，因此6的歐拉函數為2，而互補歐拉商數為6-2=4。
而非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數，若正整數n是非互補歐拉商數，表示所有整數m的互補歐拉商數都不等於n。
頭幾個非互補歐拉商數是：
:10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 。
另外，的互補歐拉商數是
:0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ...
目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想：若偶數n可以表示為二個相異質數p及q的和，則
:
pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1. \,
依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數p及q的和，此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而1=2-\phi(2), 3 = 9 - \phi(9), 5 = 25 - \phi(25)，這些數也都是互補歐拉商數，因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。
偶非互補歐拉商數不可能比質數大1，因為2p的互補歐拉商數是p+1，原因是小於等於2p的所有偶數都和它不互質，奇數則只有p一個奇數跟2p不互質。2p（p是質數）的互補歐拉商數的公式是：
:
2p - \varphi(2p) = 2p - (1)(p-1) = 2+p-1 = p+1. \,
Erdős和Sierpinski曾猜想存在有無限多個非互補歐拉商數，後來Browkin和Schinzel在1995年證實此一猜想，他們證明無窮數列 2^k \cdot 509203的每一項都是非互補歐拉商數，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的範例。
相關條目
*欧拉函数
*非歐拉商數
參考資料
*
*
*
外部連結
- [http://mathworld.wolfram.com/Noncototient.html Noncototient definition from MathWorld]
评论 (0)