年金是指等额、定期的系列收支。即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式.
分类
按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。
普通年金现值
普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。
考虑在t = 1,2,...,n时刻分别发生数额为C的款项，总共发生n次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率i折现，这个年金的现值据此计算：
:PV \,=\,\frac{C}{i}\cdot[1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}] \mathrm = {C}\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \,
其中\mathrm \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \,稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中，i是换算周期内对应的利率或当期收益率。
若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为永久年金。永久年金现值的计算即令上式中n \to \infty，则1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n} \to 1，
:PV\,=\,\frac{C}{i}
因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了n年的永久年金的现值所得。
需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：
- 无需考虑通货膨胀，或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
- 将来的支付具有相当高的发生可能性，或者利率已将信用风险考虑在内。
要了解更多，请参见金钱的时间价值。
普通年金终值
在考虑退休年金计划或者定期储蓄计划时，有时需要计算年金终值。
根据终值计算公式:
FV_A=PV_A\times(1+i)^n
其中:
- FV_A为年金终值
- PV_A为年金现值
- i为对应利率
- n为年金期数
按上文，已知普通年金现值计算公式，将其代入终值计算公式:
\begin{alignat}{3}
FV_A&= \frac{C}{i}\times[1-\frac{1}{\left(1+i\right)^n}]\times(1+i)^n \\
& = \frac{C}{i}\times[(1+i)^n-1] \\
& = C\times[\frac{(1+i)^n-1}{i}] \\
\end{alignat}
已知(1+i)^n为计算终值时使用的[终值因子] (Future Value Factor)，则上述公式可以简化为:
FV_A=C\times\frac{Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}
我们称\frac{Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}为[年金终值因子] (FV annuity factor)
最终简化版的年金终值公式为FV_A=C\times FV\,\ annuity\,\ factor
普通年金终值的计算
假设A每年年末定期储蓄10,000元人民币，年利率5%，那么到第四年年末，A定期储蓄的终值是多少？
首先计算终值因子: Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^4=1.215506
接下来计算年金终值因子: FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119
最后计算年金终值: FV_A=10000\times 4.310119=43101.19
A所做定期储蓄在第四年的终值为43101.19元。
参见
- 现值
- 利息
- 投资
- 净现值
- 终值
- 金钱的时间价值
- 通货膨胀
- 逆按揭
参考文献
Rente
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